东南大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
六、设在区间 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上，函数上 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(x)$ 单调递增，证明：$\displaystyle F(x)=\frac{f(x)}{x}$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上单调递增．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和待证结论
已知函数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上满足 $f(0)=0$，且导函数 $f'(x)$ 在该区间上单调递增。需要证明函数 $F(x)=\frac{f(x)}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增。
公式：F(x)=\frac{f(x)}{x}
提示：注意定义域：$F(x)$ 在 $x=0$ 处无定义，只需考虑 $x>0$。
步骤 2/6
目标：将单调性转化为导数符号判断
要证明 $F(x)$ 单调递增，只需证明对任意 $x>0$ 有 $F'(x) \ge 0$。计算 $F(x)$ 的导数：
$$F'(x) = \frac{f'(x) \cdot x - f(x)}{x^2}.$$
由于分母 $x^2>0$，所以 $F'(x)$ 的符号由分子 $g(x) = x f'(x) - f(x)$ 决定。因此只需证明 $g(x) \ge 0$ 对所有 $x>0$ 成立。
公式：F'(x) = \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2}
提示：不要忘记分母为正，符号完全由分子决定。
步骤 3/6
目标：分析辅助函数 $g(x)$ 的单调性
令 $g(x) = x f'(x) - f(x)$，求导得：
$$g'(x) = f'(x) + x f''(x) - f'(x) = x f''(x).$$
由于 $f'(x)$ 单调递增，故 $f''(x) \ge 0$（在可导点处成立；若存在不可导点，可用单调性定义替代，但通常微积分题目假设二阶导存在或可用导数单调性推理）。因此 $g'(x) \ge 0$，即 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增。
公式：g'(x) = x f''(x) \ge 0
提示：这里用到 $f'(x)$ 单调递增推出 $f''(x) \ge 0$，但严格证明需注意 $f'(x)$ 单调递增不一定处处可导，但可用拉格朗日中值定理或定义法处理，本题按常规假设处理。
步骤 4/6
目标：计算 $g(x)$ 在 $x \to 0^+$ 时的极限
考虑 $x \to 0^+$ 时 $g(x)$ 的极限：
$$\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} \left( x f'(x) - f(x) \right).$$
由 $f(0)=0$ 及导数定义，$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$；又因为 $f'(x)$ 单调递增，故在 $0$ 附近有界，从而 $\lim_{x \to 0^+} x f'(x) = 0$。因此 $\lim_{x \to 0^+} g(x) = 0$。
公式：\lim_{x \to 0^+} g(x) = 0
提示：注意 $f'(x)$ 单调递增保证其在有限区间上有界，但需确认 $f'(0)$ 存在性；若 $f'(0)$ 不存在，可用极限形式处理。
步骤 5/6
目标：利用单调性推出 $g(x) \ge 0$
由 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，且 $\lim_{x \to 0^+} g(x) = 0$，可知对任意 $x > 0$，有 $g(x) \ge \lim_{t \to 0^+} g(t) = 0$。即 $g(x) \ge 0$ 对所有 $x>0$ 成立。
公式：g(x) \ge 0, \quad \forall x > 0
提示：单调递增函数在 $x>0$ 处的值不小于其左极限。
步骤 6/6
目标：回到原函数 $F(x)$ 并得出结论
由于 $g(x) \ge 0$，且 $x^2 > 0$，故
$$F'(x) = \frac{g(x)}{x^2} \ge 0, \quad \forall x > 0.$$
因此 $F(x) = \frac{f(x)}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增。
公式：F'(x) = \frac{g(x)}{x^2} \ge 0
提示：单调递增的严格性取决于 $g(x)$ 是否恒为零，但题目只要求单调递增（非严格也可）。
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