东南大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
四、判断 $\displaystyle f(y)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \left(x^{2} y\right)}{x} \mathrm{~d} x$ 在 $\displaystyle y \in[0,+\infty)$ 中的一致收敛性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确一致收敛的定义
含参量反常积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x^2 y)}{x} \, dx$ 在区间 $y \in [0, +\infty)$ 上一致收敛，是指对任意 $\varepsilon > 0$，存在一个与 $y$ 无关的 $A > 0$，使得对所有 $b > a > A$ 和所有 $y \ge 0$，有 $\left| \int_a^b \frac{\sin(x^2 y)}{x} \, dx \right| < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists A>0 \text{ (与 } y \text{ 无关)}, \forall b>a>A, \forall y\ge0: \left|\int_a^b \frac{\sin(x^2 y)}{x}dx\right|<\varepsilon
提示：一致收敛的关键在于 $A$ 的选取不能依赖于 $y$，即对所有 $y$ 同时成立。
步骤 2/5
目标：分析 $y=0$ 时的情形
当 $y=0$ 时，被积函数 $\frac{\sin(0)}{x}=0$，因此积分值为 $0$，收敛性显然成立。但一致收敛性需要考虑所有 $y$，尤其是 $y$ 接近 $0$ 时的行为。
公式：f(0)=\int_0^{+\infty} 0 \, dx = 0
提示：$y=0$ 是边界点，但一致收敛性需要覆盖整个区间，包括 $y$ 趋近于 $0$ 的正数。
步骤 3/5
目标：变量代换简化积分
对 $y>0$，令 $t = x^2 y$，则 $x = \sqrt{t/y}$，$dx = \frac{dt}{2\sqrt{ty}}$。代入被积表达式：
$$
\frac{\sin(x^2 y)}{x} dx = \frac{\sin t}{\sqrt{t/y}} \cdot \frac{dt}{2\sqrt{ty}} = \frac{\sin t}{2t} dt.
$$
因此，对任意固定的 $y>0$，积分化为 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{2t} dt$，该积分条件收敛，值为 $\pi/4$。
公式：\int_0^{+\infty} \frac{\sin(x^2 y)}{x} dx = \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{2t} dt \quad (y>0)
提示：代换后 $y$ 被消去，说明每个 $y>0$ 的积分值相同，但收敛速度与 $y$ 有关。
步骤 4/5
目标：检验一致收敛性：分析余项
考虑余项 $R(A, y) = \int_A^{+\infty} \frac{\sin(x^2 y)}{x} dx$。对 $y>0$，做相同代换 $t = x^2 y$，当 $x=A$ 时 $t = A^2 y$，得：
$$
R(A, y) = \int_{A^2 y}^{+\infty} \frac{\sin t}{2t} dt.
$$
余项的大小取决于下限 $A^2 y$。若 $y$ 很小，则 $A^2 y$ 可以任意小，使得余项接近 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{2t} dt = \frac{\pi}{4}$，这是一个非零常数。
公式：R(A, y) = \int_{A^2 y}^{+\infty} \frac{\sin t}{2t} dt
提示：无论取多大的 $A$，只要取 $y$ 足够小（例如 $y < \frac{1}{A^2}$），就能使 $A^2 y$ 任意接近 $0$，从而余项无法任意小。
步骤 5/5
目标：得出不一致收敛的结论
由于对任意 $A>0$，总存在充分小的 $y>0$ 使得 $A^2 y < \delta$（$\delta$ 任意小），从而 $R(A, y)$ 接近 $\pi/4$，无法小于任意给定的 $\varepsilon < \pi/4$。因此，不存在与 $y$ 无关的 $A$ 使余项一致小，故该积分在 $y \in [0, +\infty)$ 上不一致收敛。
公式：\lim_{y \to 0^+} R(A, y) = \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{2t} dt = \frac{\pi}{4} \neq 0
提示：注意 $y=0$ 时积分值为 $0$，但 $y$ 趋近于 $0^+$ 时余项不趋近于 $0$，这是不一致收敛的典型表现。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于存在 $y$ 使得余项不能一致地小，该积分在 $y \in [0,+\infty)$ 上不一致收敛。
提示：注意 $y=0$ 时积分值为0，但一致收敛性要求对所有 $y$ 统一控制。
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