东南大学 2025年数学分析第1题

曲线由方程组 $\begin{cases} x+y+z=0 \\ x^2+y^2=z^2 \end{cases}$ 给出。将第一个方程 $z = -x-y$ 代入第二个方程，得 $x^2+y^2 = (x+y)^2$，展开得 $x^2+y^2 = x^2+2xy+y^2$，化简得 $2xy=0$，即 $xy=0$。因此 $x=0$ 或 $y=0$。

当 $x=0$ 时，由 $x+y+z=0$ 得 $y+z=0$，即 $z=-y$，所以曲线的一支为 $(0, t, -t)$，$t\in\mathbb{R}$。当 $y=0$ 时，由 $x+y+z=0$ 得 $x+z=0$，即 $z=-x$，所以另一支为 $(s, 0, -s)$，$s\in\mathbb{R}$。曲线由两条相交于原点的直线组成。

由于曲线是直线，其上任意点的切线方向即为直线的方向向量。直线1的方向向量为 $\mathbf{v}_1 = (0,1,-1)$（或 $ (0,-1,1)$），直线2的方向向量为 $\mathbf{v}_2 = (1,0,-1)$（或 $(-1,0,1)$）。

给定平面 $x+2y=0$，其法向量为 $\mathbf{n} = (1,2,0)$。直线平行于平面的条件是直线的方向向量与法向量垂直，即点积为零。

计算 $\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{n} = (0,1,-1)\cdot(1,2,0) = 0\times1 + 1\times2 + (-1)\times0 = 2 \neq 0$。计算 $\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{n} = (1,0,-1)\cdot(1,2,0) = 1\times1 + 0\times2 + (-1)\times0 = 1 \neq 0$。两个方向向量均不与法向量垂直。

曲线上所有点的切线方向只有 $\mathbf{v}_1$ 和 $\mathbf{v}_2$ 两个方向，它们均不与平面 $x+2y=0$ 的法向量垂直，因此曲线上不存在一点，使得该点处的切线平行于给定平面。

由 $x+y+z=0$ 得 $z = -x-y$，代入 $x^2+y^2=z^2$ 得 $x^2+y^2 = (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$，化简得 $0=2xy$，即 $xy=0$。因此曲线由两条直线组成： - 当 $x=0$ 时，$y+z=0$，即直线 $x=0, y=-z$，方向向量 $(0,1,-1)$； - 当 $y=0$ 时，$x+z=0$，即直线 $y=0, x=-z$，方向向量 $(1,0,-1)$。 两条直线相交于原点。

检查两条直线的方向向量是否与平面 $x+2y=0$ 平行（即与法向量 $(1,2,0)$ 垂直）： - 直线1方向 $(0,1,-1)$ 与 $(1,2,0)$ 点积：$0\cdot1+1\cdot2+(-1)\cdot0=2 \neq 0$，不垂直； - 直线2方向 $(1,0,-1)$ 与 $(1,2,0)$ 点积：$1\cdot1+0\cdot2+(-1)\cdot0=1 \neq 0$，不垂直。 因此，原点处的两条切线均不平行于给定平面，曲线上不存在满足条件的点。