东南大学 2025年数学分析第2题
📝 题目
2、若 $\displaystyle f(x, y, z), \varphi(x, y, z)$ 均连续可微，且 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程
$$
f(x, y, z)-\int_{y}^{-\sqrt{x^{2}+y^{2}}} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t-\varphi(x, y, z)=0
$$
确定，求 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：设定隐函数并求一阶偏导公式
令 $F(x,y,z)=f(x,y,z)-\int_{y}^{-\sqrt{x^{2}+y^{2}}} e^{-t^{2}} dt-\varphi(x,y,z)=0$，由隐函数定理，当 $F_z \neq 0$ 时，有 $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}$，$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$。
公式：$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$
提示：注意隐函数定理的使用条件：$F_z \neq 0$。
步骤 2/8
目标：计算 $F_x$
对 $x$ 求偏导时，积分上限 $u=-\sqrt{x^2+y^2}$ 依赖于 $x$，下限为常数 $y$。由莱布尼茨公式：$\frac{\partial}{\partial x}\int_y^u e^{-t^2}dt = e^{-u^2}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}$。其中 $u=-\sqrt{x^2+y^2}$，$u^2=x^2+y^2$，$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$。故 $\frac{\partial}{\partial x}\int_y^{-\sqrt{x^2+y^2}} e^{-t^2}dt = e^{-(x^2+y^2)}\cdot\left(-\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) = -\frac{x e^{-(x^2+y^2)}}{\sqrt{x^2+y^2}}$。因此 $F_x = f_x - \left(-\frac{x e^{-(x^2+y^2)}}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) - \varphi_x = f_x + \frac{x e^{-(x^2+y^2)}}{\sqrt{x^2+y^2}} - \varphi_x$。
公式：$F_x = f_x + \frac{x e^{-(x^2+y^2)}}{\sqrt{x^2+y^2}} - \varphi_x$
提示：注意积分上限是负的根号，平方后为正；求导时不要遗漏负号。
步骤 3/8
目标：计算 $F_y$
对 $y$ 求偏导时，积分上限 $u=-\sqrt{x^2+y^2}$ 和下限 $v=y$ 都依赖于 $y$。由莱布尼茨公式：$\frac{\partial}{\partial y}\int_v^u e^{-t^2}dt = e^{-u^2}\cdot\frac{\partial u}{\partial y} - e^{-v^2}\cdot\frac{\partial v}{\partial y}$。其中 $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$\frac{\partial v}{\partial y}=1$。故 $\frac{\partial}{\partial y}\int_y^{-\sqrt{x^2+y^2}} e^{-t^2}dt = e^{-(x^2+y^2)}\cdot\left(-\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) - e^{-y^2}\cdot 1 = -\frac{y e^{-(x^2+y^2)}}{\sqrt{x^2+y^2}} - e^{-y^2}$。因此 $F_y = f_y - \left(-\frac{y e^{-(x^2+y^2)}}{\sqrt{x^2+y^2}} - e^{-y^2}\right) - \varphi_y = f_y + \frac{y e^{-(x^2+y^2)}}{\sqrt{x^2+y^2}} + e^{-y^2} - \varphi_y$。
公式：$F_y = f_y + \frac{y e^{-(x^2+y^2)}}{\sqrt{x^2+y^2}} + e^{-y^2} - \varphi_y$
提示：上下限都含 $y$ 时，莱布尼茨公式要减去下限的贡献。
步骤 4/8
目标：计算 $F_z$ 并得到一阶偏导结果
积分项不含 $z$，故 $F_z = f_z - \varphi_z$。代入隐函数公式得：$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{f_x + \frac{x e^{-(x^2+y^2)}}{\sqrt{x^2+y^2}} - \varphi_x}{f_z - \varphi_z}$，$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{f_y + \frac{y e^{-(x^2+y^2)}}{\sqrt{x^2+y^2}} + e^{-y^2} - \varphi_y}{f_z - \varphi_z}$。
公式：$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{f_x + \frac{x e^{-(x^2+y^2)}}{\sqrt{x^2+y^2}} - \varphi_x}{f_z - \varphi_z}$，$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{f_y + \frac{y e^{-(x^2+y^2)}}{\sqrt{x^2+y^2}} + e^{-y^2} - \varphi_y}{f_z - \varphi_z}$
提示：注意分母 $f_z-\varphi_z$ 不能为零。
步骤 5/8
目标：准备求混合偏导 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
记 $A = f_x + \frac{x e^{-(x^2+y^2)}}{\sqrt{x^2+y^2}} - \varphi_x$，$B = f_z - \varphi_z$，则 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{A}{B}$。对 $y$ 求偏导得 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{A_y B - A B_y}{B^2}$。
公式：$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{A_y B - A B_y}{B^2}$
提示：注意 $A$ 和 $B$ 都是 $x,y,z(x,y)$ 的函数，求导时要用链式法则。
步骤 6/8
目标：计算 $A_y$
$A = f_x + \frac{x e^{-(x^2+y^2)}}{\sqrt{x^2+y^2}} - \varphi_x$。对 $y$ 求导：$\frac{\partial f_x}{\partial y} = f_{xy} + f_{xz} z_y$，$\frac{\partial \varphi_x}{\partial y} = \varphi_{xy} + \varphi_{xz} z_y$。中间项 $M = \frac{x e^{-(x^2+y^2)}}{\sqrt{x^2+y^2}} = x e^{-(x^2+y^2)}(x^2+y^2)^{-1/2}$，求导得 $M_y = x \left[ e^{-(x^2+y^2)}(-2y)(x^2+y^2)^{-1/2} + e^{-(x^2+y^2)}(-\frac{1}{2})(x^2+y^2)^{-3/2}\cdot 2y \right] = -\frac{x y e^{-(x^2+y^2)}(2(x^2+y^2)+1)}{(x^2+y^2)^{3/2}}$。因此 $A_y = f_{xy} + f_{xz} z_y - \frac{x y e^{-(x^2+y^2)}(2(x^2+y^2)+1)}{(x^2+y^2)^{3/2}} - (\varphi_{xy} + \varphi_{xz} z_y)$。
公式：$A_y = f_{xy} + f_{xz} z_y - \frac{x y e^{-(x^2+y^2)}(2(x^2+y^2)+1)}{(x^2+y^2)^{3/2}} - \varphi_{xy} - \varphi_{xz} z_y$
提示：中间项求导时注意复合函数求导，提取公因子简化表达式。
步骤 7/8
目标：计算 $B_y$
$B = f_z - \varphi_z$，对 $y$ 求导得 $B_y = (f_{zy} + f_{zz} z_y) - (\varphi_{zy} + \varphi_{zz} z_y)$。
公式：$B_y = f_{zy} + f_{zz} z_y - \varphi_{zy} - \varphi_{zz} z_y$
提示：注意 $f_z$ 和 $\varphi_z$ 也是 $x,y,z$ 的函数，需用链式法则。
步骤 8/8
目标：代入混合偏导公式得到最终结果
将 $A_y$ 和 $B_y$ 代入 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{A_y B - A B_y}{B^2}$，其中 $A$、$B$、$z_y$ 已由前面步骤给出。最终表达式为：
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{\left[ f_{xy} + f_{xz} z_y - \frac{x y e^{-(x^2+y^2)}(2(x^2+y^2)+1)}{(x^2+y^2)^{3/2}} - \varphi_{xy} - \varphi_{xz} z_y \right] (f_z - \varphi_z) - \left( f_x + \frac{x e^{-(x^2+y^2)}}{\sqrt{x^2+y^2}} - \varphi_x \right) (f_{zy} + f_{zz} z_y - \varphi_{zy} - \varphi_{zz} z_y)}{(f_z - \varphi_z)^2}
$$
公式：$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{A_y B - A B_y}{B^2}$，具体表达式如上。
提示：最终结果较复杂，注意代入 $z_y$ 的表达式，并保持 $f$ 和 $\varphi$ 的偏导符号清晰。
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