东南大学 2025年数学分析第3题
📝 题目
3、求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n^{2}(x-1)^{n}$ 的收玫域与和函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将幂级数转化为标准形式，并求收敛半径
令 $t = x-1$，则原级数化为 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n^{2} t^{n}$。系数 $a_n = (-1)^{n-1} n^2$。使用比值法求收敛半径：
$$
\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^2}{n^2} = 1
$$
因此收敛半径 $R = 1$，即 $|t| < 1$ 时级数绝对收敛，亦即 $|x-1| < 1$，得 $0 < x < 2$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1$，$R=1$
提示：注意将 $(x-1)^n$ 视为整体，换元后系数只与 $n$ 有关，避免混淆。
步骤 2/5
目标：判断端点处的敛散性，确定收敛域
当 $t = 1$（即 $x=2$）时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n^2$，通项 $(-1)^{n-1}n^2$ 不趋于 $0$，级数发散。
当 $t = -1$（即 $x=0$）时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n^2 (-1)^n = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{2n-1} n^2 = \sum_{n=1}^{\infty} (-1) n^2$，通项也不趋于 $0$，级数发散。
故收敛域为开区间 $(0,2)$。
公式：端点代入后通项 $\to 0$ 是收敛的必要条件
提示：不要忘记检查端点，且注意 $(-1)^{n-1}(-1)^n = (-1)^{2n-1} = -1$。
步骤 3/5
目标：利用几何级数求导，得到 $\sum n^2 t^n$ 的表达式
由几何级数 $\sum_{n=0}^{\infty} t^n = \frac{1}{1-t}$，两边求导得 $\sum_{n=1}^{\infty} n t^{n-1} = \frac{1}{(1-t)^2}$，乘以 $t$ 得 $\sum_{n=1}^{\infty} n t^n = \frac{t}{(1-t)^2}$。
再对两边求导：
$$
\frac{d}{dt}\left( \sum_{n=1}^{\infty} n t^n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} n^2 t^{n-1} = \frac{d}{dt}\left( \frac{t}{(1-t)^2} \right)
$$
计算右端导数：
$$
\frac{d}{dt}\left( \frac{t}{(1-t)^2} \right) = \frac{1}{(1-t)^2} + \frac{2t}{(1-t)^3} = \frac{1+t}{(1-t)^3}
$$
两边乘以 $t$ 得：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} n^2 t^n = \frac{t(1+t)}{(1-t)^3}
$$
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} n^2 t^n = \frac{t(1+t)}{(1-t)^3}$，$|t|<1$
提示：逐项求导在收敛区间内合法，注意每次求导后调整指数。
步骤 4/5
目标：引入交错符号 $(-1)^{n-1}$，得到 $S(t)$ 表达式
原级数 $S(t) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n^2 t^n$。注意到 $(-1)^{n-1} = -(-1)^n$，因此
$$
S(t) = -\sum_{n=1}^{\infty} n^2 (-t)^n
$$
将上一步公式中的 $t$ 替换为 $-t$：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} n^2 (-t)^n = \frac{(-t)(1+(-t))}{(1-(-t))^3} = \frac{-t(1-t)}{(1+t)^3}
$$
于是
$$
S(t) = -\left( \frac{-t(1-t)}{(1+t)^3} \right) = \frac{t(1-t)}{(1+t)^3}
$$
公式：$S(t) = \frac{t(1-t)}{(1+t)^3}$，$|t|<1$
提示：处理交错符号时，可先提取负号，再整体替换，避免符号错误。
步骤 5/5
目标：代回 $x$，写出和函数及收敛域
由 $t = x-1$，代入 $S(t)$ 得：
$$
S(x) = \frac{(x-1)(1-(x-1))}{(1+(x-1))^3} = \frac{(x-1)(2-x)}{x^3}
$$
收敛域为 $0 < x < 2$。
公式：$S(x) = \frac{(x-1)(2-x)}{x^3}$，$x \in (0,2)$
提示：注意分母 $x^3$ 在 $x=0$ 处无定义，与收敛域 $x>0$ 一致。
步骤 6/7
目标：代入符号因子，得到原级数的和函数
原级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n^2 t^n = -\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n n^2 t^n$，而 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^2 (-t)^n = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n n^2 t^n = \frac{(-t)(1+(-t))}{(1-(-t))^3} = \frac{-t(1-t)}{(1+t)^3}$。因此 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n^2 t^n = -\left(\frac{-t(1-t)}{(1+t)^3}\right) = \frac{t(1-t)}{(1+t)^3}$，$|t|<1$。
公式：$\displaystyle S(t) = \frac{t(1-t)}{(1+t)^3}$
提示：注意符号处理：$(-1)^{n-1} = -(-1)^n$，代入 $-t$ 时要小心。
步骤 7/7
目标：代回原变量，得到最终和函数
将 $t = x-1$ 代入 $S(t)$：$\displaystyle S(x) = \frac{(x-1)(1-(x-1))}{(1+(x-1))^3} = \frac{(x-1)(2-x)}{x^3}$，收敛域为 $0 < x < 2$。
公式：$\displaystyle S(x) = \frac{(x-1)(2-x)}{x^3}$
提示：代回后注意化简分母，并确认收敛域与 $t$ 的对应关系。
步骤 8/8
目标：代回原变量并写出最终答案
将 $t = x-1$ 代入得 $S(x) = \frac{(x-1)(1-(x-1))}{(1+(x-1))^3} = \frac{(x-1)(2-x)}{x^3}$，收敛域为 $0
提示：注意分母 $x^3$ 在 $x=0$ 处无定义，与收敛域一致。
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