中国人民大学 2026年数学分析第1题

函数\(f\)在区间\(I\)上一致连续，是指： \[\forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0, \ \forall x_1, x_2 \in I, \ |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon.\] 常用方法：如果导数有界，则函数在区间上一致连续（利普希茨条件）；对于无界区间，可以用构造两个趋于无穷的点列，使它们距离趋于0但函数值差距固定，来证明不一致连续。

先求导：\(f'(x)=\cos \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\)。当\(x>0\)时，\(|f'(x)| = \frac{|\cos \sqrt{x}|}{2\sqrt{x}} \le \frac{1}{2\sqrt{x}}\)。在\(x\)接近0时导数可能很大，但\(f\)在闭区间\([0,1]\)上连续，因此一致连续。在\([1,+\infty)\)上，\(|f'(x)| \le \frac{1}{2}\)，满足利普希茨条件，一致连续。两段合起来，整体一致连续。

对于任意\(\varepsilon>0\)，取\(\delta = \varepsilon^2\)。当\(x_1,x_2 \in [0,1]\)且\(|x_1-x_2|<\delta\)时，利用\(\sin\)的Lipschitz性质：\(|\sin \sqrt{x_1} - \sin \sqrt{x_2}| \le |\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}| \le \sqrt{|x_1-x_2|} < \varepsilon\)。当\(x_1,x_2 \in [1,+\infty)\)时，由导数有界得\(|f(x_1)-f(x_2)| \le \frac{1}{2}|x_1-x_2| < \varepsilon\)（取\(\delta = 2\varepsilon\)）。综合取\(\delta = \min(\varepsilon^2, 2\varepsilon)\)即可。

求导：\(g'(x)=2x\cos(x^2)\)。当\(x\)很大时，导数振幅无上界，不能用导数有界证明一致连续。尝试构造反例：取两个点列\(x_n = \sqrt{2n\pi + \frac{\pi}{2}}\)，\(y_n = \sqrt{2n\pi}\)。则\(g(x_n)=1\)，\(g(y_n)=0\)，差为1。计算距离：\(|x_n - y_n| = \frac{\pi/2}{\sqrt{2n\pi + \pi/2} + \sqrt{2n\pi}} \to 0\)（当\(n\to\infty\)）。因此对\(\varepsilon=1\)，无论\(\delta\)多小，总存在\(n\)使\(|x_n-y_n|<\delta\)但\(|g(x_n)-g(y_n)|=1\)，不满足一致连续。

由以上分析：\(f(x)=\sin\sqrt{x}\)在\([0,+\infty)\)上一致连续；\(g(x)=\sin(x^2)\)在\([0,+\infty)\)上不一致连续。

存在 $\varepsilon_0=1$（或 $\varepsilon_0=2$），对任意 $\delta>0$，取足够大的 $n$ 使得 $|x_n-y_n|<\delta$，但 $|g(x_n)-g(y_n)|=2>\varepsilon_0$，故 $g(x)=\sin(x^2)$ 在 $[0,+\infty)$ 上不一致连续。