中国人民大学 2026年数学分析第10题
📝 题目
10．（15 分）设 $D$ 是平面区域，$\displaystyle u(x, y)$ 为定义在 $D$ 上的二元函数，且在 $D$ 内对 $x$ 和 $y$ 具有直到二阶的连续偏导数。证明：$\displaystyle u(x, y)$ 在 $D$ 上满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ 的充要条件为对于任意 $D$ 内的圆周 $L$ ，且 $L$ 所围圆 $O$ 含于 $D$ ，有 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s=0$ ，其中 $n$ 取圆周 $L$ 的外法向．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将问题转化为数学语言，明确条件和结论
已知 $u(x,y)$ 在区域 $D$ 内具有直到二阶的连续偏导数。条件 A：在 $D$ 内处处满足 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$（即 $\Delta u = 0$）。条件 B：对于任意完全含于 $D$ 内的圆周 $L$（其内部圆盘 $O$ 也含于 $D$），有 $\oint_L \frac{\partial u}{\partial n} \, ds = 0$，其中 $n$ 为 $L$ 的外法向。需要证明条件 A 与条件 B 等价。
公式：\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
提示：注意圆周 $L$ 必须完全位于 $D$ 内部，且其围成的圆盘 $O$ 也需完全含于 $D$，这是应用散度定理的前提。
步骤 2/5
目标：将外法向导数的环路积分与散度定理联系起来
外法向导数定义为 $\frac{\partial u}{\partial n} = \nabla u \cdot \mathbf{n}$，其中 $\mathbf{n}$ 是单位外法向量。于是环路积分 $\oint_L \frac{\partial u}{\partial n} \, ds = \oint_L (\nabla u \cdot \mathbf{n}) \, ds$。根据二维散度定理（格林定理的通量形式），对于向量场 $\mathbf{F} = \nabla u$，有 $\oint_L \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, ds = \iint_O \nabla \cdot \mathbf{F} \, dA$。而 $\nabla \cdot (\nabla u) = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \Delta u$。因此得到关键等式：$\oint_L \frac{\partial u}{\partial n} \, ds = \iint_O \Delta u \, dA$。
公式：\oint_L \frac{\partial u}{\partial n} \, ds = \iint_O \Delta u \, dA
提示：散度定理要求向量场连续可微，这里 $u$ 二阶连续可偏导保证了 $\nabla u$ 连续可微，满足条件。注意 $O$ 是 $L$ 所围的圆盘区域。
步骤 3/5
目标：必要性证明：由拉普拉斯方程推出环路积分为零
假设条件 A 成立，即在 $D$ 内处处有 $\Delta u = 0$。对于任意完全含于 $D$ 内的圆周 $L$ 及其围成的圆盘 $O$，由于 $O \subset D$，在 $O$ 上 $\Delta u = 0$ 恒成立。因此二重积分 $\iint_O \Delta u \, dA = 0$。由第二步的等式，立即得到 $\oint_L \frac{\partial u}{\partial n} \, ds = 0$。必要性得证。
公式：\Delta u = 0 \Rightarrow \iint_O \Delta u \, dA = 0 \Rightarrow \oint_L \frac{\partial u}{\partial n} \, ds = 0
提示：这一步直接代入即可，注意被积函数恒为零，积分结果必为零。
步骤 4/5
目标：充分性证明：由任意圆周上积分为零推出拉普拉斯方程
假设条件 B 成立，即对任意含于 $D$ 内的圆周 $L$，有 $\oint_L \frac{\partial u}{\partial n} \, ds = 0$。由第二步的等式，这等价于对任意完全含于 $D$ 内的圆盘 $O$，有 $\iint_O \Delta u \, dA = 0$。现在用反证法证明 $\Delta u = 0$ 在 $D$ 内处处成立。假设存在一点 $P \in D$ 使得 $\Delta u(P) \neq 0$，不妨设 $\Delta u(P) > 0$。由于 $\Delta u$ 在 $D$ 内连续，存在一个以 $P$ 为圆心、半径足够小的圆盘 $O_\delta \subset D$，使得在 $O_\delta$ 上 $\Delta u > 0$ 恒成立。则二重积分 $\iint_{O_\delta} \Delta u \, dA > 0$，与条件 B 推出的 $\iint_O \Delta u \, dA = 0$ 矛盾。因此假设不成立，$\Delta u$ 在 $D$ 内处处为零。充分性得证。
公式：\forall O \subset D, \iint_O \Delta u \, dA = 0 \Rightarrow \Delta u \equiv 0 \text{ in } D
提示：反证法依赖于 $\Delta u$ 的连续性。若 $\Delta u(P) < 0$，同理可证。注意圆盘 $O_\delta$ 必须完全含于 $D$ 内，这由 $D$ 是开区域（平面区域通常指开集）保证。
步骤 5/5
目标：总结结论
由必要性证明和充分性证明可知，条件 A 与条件 B 互为充要条件。即函数 $u(x,y)$ 在 $D$ 上满足拉普拉斯方程 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$ 当且仅当对于任意 $D$ 内的圆周 $L$（其内部含于 $D$），有 $\oint_L \frac{\partial u}{\partial n} \, ds = 0$。
公式：\Delta u = 0 \iff \forall L \subset D, \oint_L \frac{\partial u}{\partial n} \, ds = 0
提示：该结论是调和函数的一个重要性质，即调和函数的外法向导数沿任何圆周的积分为零，反之亦然。
步骤 6/7
目标：证明充分性
假设对任意含于 $D$ 的圆周 $L$ 都有 $\oint_L \frac{\partial u}{\partial n}ds=0$，则由上一步的等式，对任意这样的圆盘 $O$ 有 $\iint_O \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right) dxdy=0$。由于 $u$ 的二阶偏导连续，被积函数连续。若存在某点 $P_0\in D$ 使得 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\neq 0$（不妨设大于0），由连续性存在一个小圆盘 $O_\delta$ 使得在其上被积函数恒正，则积分 $\iint_{O_\delta} \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right) dxdy > 0$，与假设矛盾。因此处处为零。
提示：充分性用到连续函数的局部保号性，注意反证法的使用。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上，$u$ 在 $D$ 内满足拉普拉斯方程当且仅当对任意含于 $D$ 的圆周 $L$，其外法向导数的闭路积分为零。证毕。
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