中国人民大学 2026年数学分析第3题
📝 题目
3．（15 分）证明：对任意的 $\displaystyle x \in[0,1]$ ，有 $\displaystyle 1+x^{2} \leq 2^{x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造函数并检查端点值
令 $f(x) = 2^x - (1 + x^2)$，则要证明 $f(x) \geq 0$ 对任意 $x \in [0,1]$ 成立。计算端点值：$f(0) = 2^0 - (1+0) = 0$，$f(1) = 2^1 - (1+1) = 0$。
公式：f(x) = 2^x - (1 + x^2)
提示：端点值相等且为0，提示函数可能在内部有最大值，且最小值在端点取得。
步骤 2/5
目标：求一阶导数和二阶导数
对 $f(x)$ 求导：$f'(x) = 2^x \ln 2 - 2x$。再求二阶导：$f''(x) = 2^x (\ln 2)^2 - 2$。
公式：f'(x) = 2^x \ln 2 - 2x, \quad f''(x) = 2^x (\ln 2)^2 - 2
提示：注意 $\ln 2 \approx 0.6931$，$(\ln 2)^2 \approx 0.4805$。
步骤 3/5
目标：判断二阶导数的符号
由于 $x \in [0,1]$ 时 $2^x \leq 2$，且 $(\ln 2)^2 < 1$，所以 $2^x (\ln 2)^2 \leq 2 \times 0.4805 < 2$，因此 $f''(x) < 0$ 在整个区间上恒成立。这意味着 $f'(x)$ 在 $[0,1]$ 上严格单调递减。
公式：f''(x) = 2^x (\ln 2)^2 - 2 < 0, \quad \forall x \in [0,1]
提示：二阶导小于0说明一阶导递减，这是判断极值点唯一性的关键。
步骤 4/5
目标：分析一阶导数的符号变化
计算 $f'(0) = \ln 2 - 0 \approx 0.6931 > 0$，$f'(1) = 2\ln 2 - 2 \approx 1.3863 - 2 = -0.6137 < 0$。由于 $f'(x)$ 连续且严格递减，由零点定理知存在唯一 $c \in (0,1)$ 使得 $f'(c)=0$。当 $x \in [0,c)$ 时 $f'(x)>0$，$f(x)$ 递增；当 $x \in (c,1]$ 时 $f'(x)<0$，$f(x)$ 递减。
公式：f'(0) > 0, \quad f'(1) < 0, \quad \exists! c \in (0,1): f'(c)=0
提示：一阶导从正变负，说明函数先增后减，$c$ 是最大值点。
步骤 5/5
目标：由单调性和端点值推出结论
因为 $f(0)=0$，$f(x)$ 在 $[0,c]$ 上递增，所以 $f(x) \geq f(0)=0$；在 $[c,1]$ 上递减，所以 $f(x) \geq f(1)=0$。因此在整个区间上 $f(x) \geq 0$，等号仅在 $x=0$ 或 $x=1$ 时成立。即 $1+x^2 \leq 2^x$ 对任意 $x \in [0,1]$ 成立。
公式：f(x) \geq 0 \Rightarrow 1+x^2 \leq 2^x, \quad \forall x \in [0,1]
提示：注意等号只在端点取到，中间严格大于。
步骤 6/6
目标：总结结论
对任意 $x \in [0,1]$，有 $1+x^2 \leq 2^x$，等号当且仅当 $x=0$ 或 $x=1$ 时成立。
公式：1+x^2\leq 2^x,\quad x\in[0,1]
提示：注意等号成立的条件。
步骤 7/7
目标：计算端点函数值并得出结论
计算 $f(0)=2^0 - (1+0)=1-1=0$，$f(1)=2^1 - (1+1)=2-2=0$。所以对任意 $x \in [0,1]$，$f(x) \geq 0$，即 $2^x \geq 1+x^2$，等号仅在 $x=0$ 或 $x=1$ 时成立。
提示：注意等号成立的条件，题目要求证明不等式，需说明等号何时取到。
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