中国地质大学(武汉) 2026年数学分析第0题
📝 题目
七、计算 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} \frac{e^{-x y}-1}{y^{2}} d x}{\ln (1+x)}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：修正题目并定义函数
原题中积分变量与上限字母重复，应为对 $y$ 积分。定义分子函数：\n$$F(x) = \\int_0^x \\frac{e^{-xy} - 1}{y^2} \\, dy.$$
公式：$$F(x) = \\int_0^x \\frac{e^{-xy} - 1}{y^2} \\, dy$$
提示：注意被积函数含有参数 $x$，求导时需使用含参积分求导法则。
步骤 2/6
目标：对分子使用莱布尼茨法则求导
由莱布尼茨法则：\n$$F'(x) = f(x,x) + \\int_0^x \\frac{\\partial f}{\\partial x}(x,y) \\, dy,$$\n其中 $f(x,y) = \\frac{e^{-xy} - 1}{y^2}$。计算得：\n$$f(x,x) = \\frac{e^{-x^2} - 1}{x^2}, \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial x} = -\\frac{e^{-xy}}{y}.$$\n因此：\n$$F'(x) = \\frac{e^{-x^2} - 1}{x^2} - \\int_0^x \\frac{e^{-xy}}{y} \\, dy.$$
公式：$$F'(x) = \\frac{e^{-x^2} - 1}{x^2} - \\int_0^x \\frac{e^{-xy}}{y} \\, dy$$
提示：求偏导时注意 $\\frac{\\partial}{\\partial x} e^{-xy} = -y e^{-xy}$。
步骤 3/6
目标：应用洛必达法则并化简极限形式
分母 $\\ln(1+x) \\sim x$，极限为 $\\frac{0}{0}$ 型，使用洛必达法则：\n$$L = \\lim_{x \\to 0^+} \\frac{F(x)}{\\ln(1+x)} = \\lim_{x \\to 0^+} \\frac{F'(x)}{\\frac{1}{1+x}} = \\lim_{x \\to 0^+} (1+x) F'(x).$$\n由于 $1+x \\to 1$，只需计算 $\\lim_{x \\to 0^+} F'(x)$。
公式：$$L = \\lim_{x \\to 0^+} (1+x) F'(x)$$
提示：洛必达法则使用前需确认分子分母均趋于0。
步骤 4/6
目标：处理第一项 $\\frac{e^{-x^2} - 1}{x^2}$ 的极限
利用泰勒展开 $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \\frac{x^4}{2} + O(x^6)$，得：\n$$\\frac{e^{-x^2} - 1}{x^2} = -1 + \\frac{x^2}{2} + O(x^4) \\to -1 \\quad (x \\to 0^+).$$
公式：$$\\frac{e^{-x^2} - 1}{x^2} \\to -1$$
提示：注意 $e^{-x^2}$ 展开时不要遗漏高阶项。
步骤 5/6
目标：处理第二项积分 $\\int_0^x \\frac{e^{-xy}}{y} \\, dy$
作换元 $t = xy$，则 $y = t/x$，$dy = dt/x$，积分限 $y:0 \\to x$ 对应 $t:0 \\to x^2$：\n$$I(x) = \\int_0^x \\frac{e^{-xy}}{y} \\, dy = \\int_0^{x^2} \\frac{e^{-t}}{t} \\, dt.$$\n利用指数积分的小变量展开：\n$$\\int_0^{u} \\frac{e^{-t}}{t} \\, dt = \\ln u + \\gamma + O(u),$$\n其中 $\\gamma$ 为欧拉常数。取 $u = x^2$，得：\n$$I(x) = 2\\ln x + \\gamma + O(x^2).$$
公式：$$\\int_0^x \\frac{e^{-xy}}{y} \\, dy = 2\\ln x + \\gamma + O(x^2)$$
提示：换元时注意积分限的变化，且 $\\ln(x^2) = 2\\ln x$。
步骤 6/6
目标：合并两项并求极限
将两项结果代入 $F'(x)$：\n$$F'(x) = \\left(-1 + \\frac{x^2}{2} + O(x^4)\\right) - \\left(2\\ln x + \\gamma + O(x^2)\\right).$$\n当 $x \\to 0^+$ 时，$\\ln x \\to -\\infty$，因此 $F'(x) \\to +\\infty$。故原极限：\n$$L = \\lim_{x \\to 0^+} (1+x) F'(x) = +\\infty.$$
公式：$$\\lim_{x \\to 0^+} \\frac{\\int_0^x \\frac{e^{-xy} - 1}{y^2} \\, dy}{\\ln(1+x)} = +\\infty$$
提示：注意 $\\ln x \\to -\\infty$ 时，减去 $2\\ln x$ 相当于加上正无穷，导致整体发散到正无穷。
步骤 7/7
目标：计算极限
将分子和分母的渐近式代入：
$$\frac{F(x)}{\ln(1+x)} = \frac{-2x\ln x + O(x)}{x + O(x^2)} = \frac{-2\ln x + O(1)}{1 + O(x)}$$
当 $x \to 0^+$ 时，$\ln x \to -\infty$，故 $-2\ln x \to +\infty$，因此极限为 $+\infty$。
公式：$$\lim_{x \to 0^+} \frac{-2x\ln x}{x} = \lim_{x \to 0^+} (-2\ln x) = +\infty$$
提示：注意符号：$x>0$ 时 $\ln x < 0$，所以 $-2\ln x > 0$，极限为正无穷。
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