中国地质大学(武汉) 2026年数学分析第0题
📝 题目
三、将函数 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}1, & x>0 \\ 0, & x=0 \text { 在区间 }[-\pi, \pi) \text { 上按傅里叶展开，并计算 } \\ -1, & x<0\end{cases}$
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确函数形式与周期性延拓
给定函数 $f(x)$ 在区间 $[-\pi, \pi)$ 上定义为：
$$f(x)=\begin{cases} 1, & x>0 \\ 0, & x=0 \\ -1, & x<0 \end{cases}$$
将其周期延拓到整个实数轴，周期为 $2\pi$。该函数是奇函数，因为 $f(-x) = -f(x)$。
公式：f(-x) = -f(x)
提示：注意函数在 $x=0$ 处取值为0，但左右极限分别为1和-1，因此是间断点。
步骤 2/6
目标：写出傅里叶级数形式并计算系数
对于周期为 $2\pi$ 的奇函数，傅里叶级数只有正弦项：
$$f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx)$$
系数公式为：
$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$$
由于 $f(x)$ 和 $\sin(nx)$ 都是奇函数，乘积为偶函数，可化简为：
$$b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$$
在 $(0,\pi)$ 上 $f(x)=1$，因此：
$$b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(nx) \, dx$$
公式：b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(nx) \, dx
提示：利用奇偶性简化积分区间，避免分段积分。
步骤 3/6
目标：计算积分并得到系数表达式
计算积分：
$$\int_{0}^{\pi} \sin(nx) \, dx = \left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi} = -\frac{\cos(n\pi)}{n} + \frac{\cos 0}{n} = -\frac{(-1)^n}{n} + \frac{1}{n} = \frac{1 - (-1)^n}{n}$$
所以：
$$b_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1 - (-1)^n}{n}$$
当 $n$ 为偶数时，$b_n=0$；当 $n$ 为奇数时，设 $n=2k-1$，则 $1-(-1)^{2k-1}=2$，于是：
$$b_{2k-1} = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{2}{2k-1} = \frac{4}{\pi(2k-1)}$$
公式：b_{2k-1} = \frac{4}{\pi(2k-1)}
提示：注意 $\cos(n\pi)=(-1)^n$，区分奇偶性。
步骤 4/6
目标：写出傅里叶级数展开式
因此，傅里叶级数为：
$$f(x) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin((2k-1)x)}{2k-1}$$
该等式在间断点（如 $x=0$ 和 $x=\pm\pi$）以外成立，在这些点级数收敛到左右极限的平均值。
公式：f(x) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin((2k-1)x)}{2k-1}
提示：傅里叶级数在间断点处收敛到平均值，本题中 $x=0$ 处平均值为0，与 $f(0)=0$ 一致。
步骤 5/6
目标：利用展开式求级数和
令 $x = \frac{\pi}{2}$，则 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$。代入傅里叶级数：
$$1 = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin\left((2k-1)\frac{\pi}{2}\right)}{2k-1}$$
计算正弦值：
$$\sin\left((2k-1)\frac{\pi}{2}\right) = \begin{cases} 1, & k=1,3,5,\ldots \\ -1, & k=2,4,6,\ldots \end{cases} = (-1)^{k-1}$$
因此：
$$1 = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}$$
解得：
$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1} = \frac{\pi}{4}$$
公式：\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1} = \frac{\pi}{4}
提示：注意 $\sin\left((2k-1)\frac{\pi}{2}\right)$ 的符号规律，与 $(-1)^{k-1}$ 一致。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，所求级数的和为 $\frac{\pi}{4}$。
公式：\boxed{\frac{\pi}{4}}
提示：最终结果简洁，注意与常见级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} = \frac{\pi}{4}$ 对应。
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