中国地质大学(武汉) 2026年数学分析第0题
📝 题目
九、设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x=1, f(x) \geqslant 0, x \in R$ ，且 $\displaystyle f_{\varepsilon}(x)=\frac{1}{\varepsilon} f\left(\frac{\pi}{\varepsilon}\right)$ ，记 $\displaystyle \varphi(x)$是一有界非负函数，证明： $\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) f_{\varepsilon}(x) d x=\varphi(0)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件与目标，纠正题目笔误
已知：
1. $f(x) \ge 0$，且 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$。
2. 定义 $f_{\varepsilon}(x) = \frac{1}{\varepsilon} f\left( \frac{x}{\varepsilon} \right)$（题目中 $\frac{\pi}{\varepsilon}$ 应为 $\frac{x}{\varepsilon}$）。
3. $\varphi(x)$ 是有界非负函数。
目标：证明 $\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) f_{\varepsilon}(x) \, dx = \varphi(0)$。
公式：f_{\varepsilon}(x)=\frac{1}{\varepsilon} f\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)
提示：注意题目中的笔误，否则后续变量代换无法进行。
步骤 2/5
目标：进行变量代换，简化积分形式
令 $u = \frac{x}{\varepsilon}$，则 $x = \varepsilon u$，$dx = \varepsilon \, du$。代入积分得：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) f_{\varepsilon}(x) \, dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\varepsilon u) \cdot \frac{1}{\varepsilon} f(u) \cdot \varepsilon \, du = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\varepsilon u) f(u) \, du
$$
公式：\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) f_{\varepsilon}(x) \, dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\varepsilon u) f(u) \, du
提示：变量代换后，$\frac{1}{\varepsilon}$ 因子被消去，积分形式简化。
步骤 3/5
目标：将目标极限转化为差值估计
由于 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(u) \, du = 1$，有：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\varepsilon u) f(u) \, du - \varphi(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} [\varphi(\varepsilon u) - \varphi(0)] f(u) \, du
$$
只需证明当 $\varepsilon \to 0^+$ 时，上式趋于 0。
公式：\int_{-\infty}^{+\infty} [\varphi(\varepsilon u) - \varphi(0)] f(u) \, du \to 0
提示：利用 $\int f = 1$ 将常数 $\varphi(0)$ 吸收进积分。
步骤 4/5
目标：利用有界性和积分性质分区域估计
设 $|\varphi(x)| \le M$。对任意 $\delta > 0$，取 $A > 0$ 充分大，使得 $\int_{|u| > A} f(u) \, du < \frac{\delta}{4M}$（由 $f$ 可积性保证）。
将积分分为两部分：
- 在 $|u| \le A$ 上，由于 $\varphi$ 在 0 处连续（需补充条件），对任意 $\eta > 0$，存在 $\varepsilon$ 足够小，使得 $|\varphi(\varepsilon u) - \varphi(0)| < \eta$，于是
$$
\left| \int_{|u| \le A} [\varphi(\varepsilon u) - \varphi(0)] f(u) \, du \right| \le \eta \int_{|u| \le A} f(u) \, du \le \eta
$$
- 在 $|u| > A$ 上，
$$
\left| \int_{|u| > A} [\varphi(\varepsilon u) - \varphi(0)] f(u) \, du \right| \le (M + |\varphi(0)|) \cdot \frac{\delta}{4M}
$$
取 $\delta$ 和 $\eta$ 任意小，则整体差值可任意小。
公式：\left| \int_{-\infty}^{+\infty} [\varphi(\varepsilon u) - \varphi(0)] f(u) \, du \right| \le \eta + (M+|\varphi(0)|)\cdot \frac{\delta}{4M}
提示：这里需要 $\varphi$ 在 0 处连续，否则结论不一定成立。
步骤 5/5
目标：得出结论
由以上估计，对任意 $\epsilon > 0$，存在 $\varepsilon$ 足够小，使得
$$
\left| \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) f_{\varepsilon}(x) \, dx - \varphi(0) \right| < \epsilon
$$
因此极限成立：
$$
\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) f_{\varepsilon}(x) \, dx = \varphi(0)
$$
公式：\boxed{\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) f_{\varepsilon}(x) \, dx = \varphi(0)}
提示：需补充条件：$\varphi$ 在 0 处连续，否则结论不一定成立。
步骤 6/6
目标：合并估计并完成证明
综合以上两部分，当 $0 < \varepsilon < \varepsilon_0$ 时，
$$
\left| \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) f_\varepsilon(x) \, dx - \varphi(0) \right| < \delta + (M+|\varphi(0)|)\delta = (1+M+|\varphi(0)|)\delta.
$$
由于 $\delta > 0$ 是任意小的，因此极限成立：
$$
\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) f_\varepsilon(x) \, dx = \varphi(0).
$$
公式：\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) f_\varepsilon(x) \, dx = \varphi(0)
提示：证明的关键是同时控制邻域内外的误差，利用 $\delta$ 的任意性得到极限。
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