中国地质大学(武汉) 2026年数学分析第0题
📝 题目
五、已知 $\displaystyle F(r)=\int_{0}^{2 \pi} e^{r \cos \theta} \cos (r \sin \theta) d \theta$ ，证明：$\displaystyle F(r) \equiv r$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将被积函数与复数指数联系起来
利用欧拉公式：$e^{i r \sin \theta} = \cos(r \sin \theta) + i \sin(r \sin \theta)$，则被积函数的实部可写为：
$e^{r \cos \theta} \cos(r \sin \theta) = \operatorname{Re}\left[ e^{r \cos \theta} e^{i r \sin \theta} \right] = \operatorname{Re}\left[ e^{r e^{i \theta}} \right]$，
其中 $r e^{i \theta} = r \cos \theta + i r \sin \theta$。因此 $F(r) = \int_0^{2\pi} \operatorname{Re}\left( e^{r e^{i \theta}} \right) d\theta$。
公式：e^{r e^{i \theta}} = e^{r \cos \theta} e^{i r \sin \theta}
提示：注意欧拉公式的实部和虚部分离，这里只取实部参与积分。
步骤 2/4
目标：将实积分转化为复变积分
考虑复积分 $\int_0^{2\pi} e^{r e^{i \theta}} d\theta$。令 $z = e^{i \theta}$，则 $d\theta = \frac{dz}{i z}$，且当 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$ 时，$z$ 沿单位圆逆时针一周。于是：
$\int_0^{2\pi} e^{r e^{i \theta}} d\theta = \oint_{|z|=1} e^{r z} \frac{dz}{i z}$。
公式：d\theta = \frac{dz}{i z}, \quad z = e^{i\theta}
提示：注意变量替换时积分路径的方向和微分形式的变换。
步骤 3/4
目标：用留数定理计算复积分
被积函数 $\frac{e^{r z}}{i z}$ 在 $z=0$ 处有一阶极点，其留数为：
$\operatorname{Res}\left( \frac{e^{r z}}{i z}, 0 \right) = \lim_{z \to 0} z \cdot \frac{e^{r z}}{i z} = \frac{1}{i}$。
由留数定理：$\oint_{|z|=1} \frac{e^{r z}}{i z} dz = 2\pi i \cdot \frac{1}{i} = 2\pi$。
因此 $\int_0^{2\pi} e^{r e^{i \theta}} d\theta = 2\pi$。
公式：\oint_{|z|=1} \frac{e^{rz}}{iz} dz = 2\pi
提示：留数计算时注意分母的 $i$ 不要遗漏，最终结果是实数。
步骤 4/4
目标：分离实部和虚部并得出结论
将复积分展开：
$\int_0^{2\pi} e^{r e^{i \theta}} d\theta = \int_0^{2\pi} e^{r\cos\theta} \cos(r\sin\theta) d\theta + i \int_0^{2\pi} e^{r\cos\theta} \sin(r\sin\theta) d\theta$。
已知该积分等于实数 $2\pi$，因此虚部为零，实部等于 $2\pi$。即：
$F(r) = \int_0^{2\pi} e^{r\cos\theta} \cos(r\sin\theta) d\theta = 2\pi$。
公式：F(r) = 2\pi
提示：注意题目要求证明 $F(r) \equiv r$，但正确结果是 $2\pi$，可能是题目笔误。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
复积分结果为实数 $2\pi$，因此其实部就是 $2\pi$，故 $F(r) = 2\pi$，与 $r$ 无关，恒为常数。
公式：$F(r) = 2\pi$
提示：原题结论 $F(r)\equiv r$ 错误，正确结论为 $F(r)\equiv 2\pi$。
步骤 6/6
目标：验证结论与题目矛盾
取 $r=0$ 检验：左边 $F(0)=\int_0^{2\pi} 1 \cdot \cos 0 d\theta = 2\pi$，右边若为 $r=0$ 则得 $0$，矛盾。因此正确结果应为 $F(r)\equiv 2\pi$，而非 $r$。
公式：F(0) = 2\pi \neq 0
提示：通过特殊值验证是发现题目错误的有效方法。
步骤 7/7
目标：指出题目错误
原题结论 $F(r) \equiv r$ 与正确结果 $F(r) \equiv 2\pi$ 矛盾，因此题目结论错误。正确结论应为 $F(r) \equiv 2\pi$。
提示：注意检查题目是否笔误，常见正确结果是 $2\pi$。
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