中国地质大学(武汉) 2026年数学分析第0题
📝 题目
八、计算由 $\displaystyle z=3\left(x^{2}+y^{2}\right), z=x^{2}+y^{2}, 2 x=y, x=2 y, x y=1, x y=2$ 围成的体积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解曲面与边界曲线的几何意义
题目中两个曲面 $z = 3(x^2 + y^2)$ 和 $z = x^2 + y^2$ 是旋转抛物面，对于相同的 $(x,y)$，有 $z = x^2 + y^2 < 3(x^2 + y^2)$（除原点外），因此下曲面为 $z = x^2 + y^2$，上曲面为 $z = 3(x^2 + y^2)$。另外四个方程 $2x = y$（即 $y = 2x$）、$x = 2y$（即 $y = x/2$）、$xy = 1$、$xy = 2$ 是 $xy$ 平面上的曲线，它们围成一个有界区域 $D$。所求体积是 $D$ 上方介于两曲面之间的立体体积。
公式：体积公式：$V = \iint_D [z_{\text{上}} - z_{\text{下}}] \, dxdy = \iint_D 2(x^2 + y^2) \, dxdy$
提示：注意两曲面不相交于非零高度，高度差恒为正，可直接积分。
步骤 2/5
目标：确定积分区域并引入变量替换
积分区域 $D$ 由 $y = 2x$、$y = x/2$、$xy = 1$、$xy = 2$ 围成，位于第一象限（因为 $xy > 0$）。边界线可表示为 $y/x = 2$、$y/x = 1/2$、$xy = 1$、$xy = 2$，这提示我们作变量替换：令 $u = xy$，$v = y/x$。则 $u$ 从 $1$ 到 $2$，$v$ 从 $1/2$ 到 $2$。
公式：变量替换：$u = xy$，$v = \frac{y}{x}$
提示：注意 $x>0,y>0$，反解时取正根。
步骤 3/5
目标：计算雅可比行列式
由 $u = xy$，$v = y/x$ 反解得：$x = \sqrt{u/v}$，$y = \sqrt{uv}$。计算雅可比行列式：
$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}$
其中 $\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{1}{2}u^{-1/2}v^{-1/2}$，$\frac{\partial x}{\partial v} = -\frac{1}{2}u^{1/2}v^{-3/2}$，$\frac{\partial y}{\partial u} = \frac{1}{2}u^{-1/2}v^{1/2}$，$\frac{\partial y}{\partial v} = \frac{1}{2}u^{1/2}v^{-1/2}$。
行列式值为 $\frac{1}{4v} + \frac{1}{4v} = \frac{1}{2v}$，取绝对值得 $\left| \frac{1}{2v} \right| = \frac{1}{2v}$。
公式：$\left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| = \frac{1}{2v}$
提示：雅可比行列式要取绝对值，且注意偏导计算符号。
步骤 4/5
目标：转换被积函数并建立积分
被积函数 $2(x^2 + y^2)$ 用 $u,v$ 表示：$x^2 + y^2 = \frac{u}{v} + uv = u\left(\frac{1}{v} + v\right) = u \cdot \frac{1+v^2}{v}$。因此 $2(x^2 + y^2) = 2u \cdot \frac{1+v^2}{v}$。
体积积分变为：
$V = \int_{u=1}^{2} \int_{v=1/2}^{2} \left(2u \frac{1+v^2}{v}\right) \cdot \frac{1}{2v} \, dv \, du = \int_{1}^{2} \int_{1/2}^{2} u \frac{1+v^2}{v^2} \, dv \, du$。
公式：$V = \int_{1}^{2} u \, du \cdot \int_{1/2}^{2} \frac{1+v^2}{v^2} \, dv$
提示：积分区域为矩形，可分离变量。
步骤 5/5
目标：计算积分并得出结果
先计算 $u$ 部分：$\int_{1}^{2} u \, du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$。
再计算 $v$ 部分：$\int_{1/2}^{2} \frac{1+v^2}{v^2} \, dv = \int_{1/2}^{2} (v^{-2} + 1) \, dv = \left[ -v^{-1} + v \right]_{1/2}^{2} = \left(-\frac{1}{2} + 2\right) - \left(-2 + \frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2} - \left(-\frac{3}{2}\right) = 3$。
因此 $V = \frac{3}{2} \times 3 = \frac{9}{2}$。
公式：$V = \frac{9}{2}$
提示：注意代入上下限时避免符号错误，尤其是 $v$ 部分的下限 $1/2$ 代入 $-v^{-1}$ 得 $-2$。
步骤 6/6
目标：计算积分得到体积
先对 $v$ 积分：$\int_{1/2}^{2} \left( 1 + v^{-2} \right) dv = \left[ v - \frac{1}{v} \right]_{1/2}^{2} = \left(2 - \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{2} - 2\right) = \frac{3}{2} - \left(-\frac{3}{2}\right) = 3$。
再对 $u$ 积分：$\int_{1}^{2} u \cdot 3 \, du = 3 \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{1}^{2} = 3 \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) = 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$。
公式：V = \frac{9}{2}
提示：积分上下限代入时注意符号，避免计算错误。
步骤 7/7
目标：得出最终答案
计算得到体积为 $\frac{9}{2}$，即 4.5 立方单位。
公式：$\boxed{\frac{9}{2}}$
提示：最终结果需化简为最简分数。
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