中国地质大学(武汉) 2026年数学分析第0题
📝 题目
十、设函数 $\displaystyle f(u)$ 在区间 $\displaystyle [A, B]$ 上连续，$\displaystyle u=\varphi(t)$ 在区间 $\displaystyle (a, b)$ 上可积，当 $\displaystyle t \in(a, b)$ 时， $\displaystyle A \leqslant \varphi(t) \leqslant B$ ，证明：$\displaystyle f(\varphi(t))$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和证明目标
已知：
1. $f(u)$ 在闭区间 $[A, B]$ 上连续；
2. $u = \varphi(t)$ 在区间 $(a, b)$ 上可积；
3. 当 $t \in (a, b)$ 时，$A \leq \varphi(t) \leq B$。
要证明：复合函数 $f(\varphi(t))$ 在 $(a, b)$ 上可积。
说明：通常可积性在闭区间上讨论，这里 $(a, b)$ 为有界开区间，可积性理解为在任意闭子区间上可积，或按黎曼积分定义推广。
提示：注意区间为开区间，但可积性定义仍可适用，需假设区间有界。
步骤 2/6
目标：利用连续性得到一致连续性
由于 $f(u)$ 在闭区间 $[A, B]$ 上连续，根据康托尔定理（一致连续性定理），$f$ 在 $[A, B]$ 上一致连续。
即：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $u_1, u_2 \in [A, B]$ 且 $|u_1 - u_2| < \delta$ 时，有
$$|f(u_1) - f(u_2)| < \varepsilon.$$
公式：$$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall u_1,u_2\in[A,B], |u_1-u_2|<\delta \Rightarrow |f(u_1)-f(u_2)|<\varepsilon$$
提示：一致连续性是关键，它保证了函数值的变化可以被自变量变化控制。
步骤 3/6
目标：引入可积函数的振幅刻画
$\varphi(t)$ 在 $(a, b)$ 上可积，意味着它是有界函数，并且满足黎曼可积的充要条件：对任意 $\eta > 0$，存在区间 $[a, b]$ 的一个分割 $P: a = t_0 < t_1 < \dots < t_n = b$，使得振幅和（达布上和减下和）小于 $\eta$。
记 $\omega_i(\varphi) = \sup_{t \in [t_{i-1}, t_i]} \varphi(t) - \inf_{t \in [t_{i-1}, t_i]} \varphi(t)$ 为 $\varphi$ 在第 $i$ 个小区间上的振幅。
可积性的一个等价条件是：对任意 $\delta > 0$，振幅 $\omega_i(\varphi) \geq \delta$ 的那些小区间的总长度可以任意小。
公式：$$\forall \eta>0, \exists \text{分割} P, \sum_{i=1}^n \omega_i(\varphi) \Delta t_i < \eta$$
提示：振幅刻画是处理可积性问题的常用工具，注意区分好区间与坏区间。
步骤 4/6
目标：建立复合函数振幅与φ振幅的关系
考虑任意分割 $P$，记 $\omega_i(f\circ\varphi) = \sup_{t \in [t_{i-1}, t_i]} f(\varphi(t)) - \inf_{t \in [t_{i-1}, t_i]} f(\varphi(t))$。
由 $f$ 的一致连续性：若 $\omega_i(\varphi) < \delta$，则对任意 $t', t'' \in [t_{i-1}, t_i]$，有 $|\varphi(t') - \varphi(t'')| \leq \omega_i(\varphi) < \delta$，从而 $|f(\varphi(t')) - f(\varphi(t''))| < \varepsilon$，因此 $\omega_i(f\circ\varphi) \leq \varepsilon$。
若 $\omega_i(\varphi) \geq \delta$，则 $\omega_i(f\circ\varphi) \leq 2M$，其中 $M = \max_{u \in [A, B]} |f(u)|$（由连续性保证存在）。
公式：$$\omega_i(\varphi) < \delta \Rightarrow \omega_i(f\circ\varphi) \leq \varepsilon; \quad \omega_i(\varphi) \geq \delta \Rightarrow \omega_i(f\circ\varphi) \leq 2M$$
提示：注意区分好区间（振幅小）和坏区间（振幅大），坏区间上的振幅用最大值控制。
步骤 5/6
目标：构造分割并估计达布和之差
对任意给定的 $\varepsilon > 0$，取 $\delta$ 为一致连续性中对应的值。
由于 $\varphi$ 可积，存在分割 $P$，使得所有满足 $\omega_i(\varphi) \geq \delta$ 的小区间（坏区间）的总长度小于 $\frac{\varepsilon}{2M}$。
记好区间指标集为 $I_1$，坏区间指标集为 $I_2$，则复合函数的达布上和减下和为：
$$\sum_{i=1}^n \omega_i(f\circ\varphi) \Delta t_i = \sum_{i \in I_1} \omega_i(f\circ\varphi) \Delta t_i + \sum_{i \in I_2} \omega_i(f\circ\varphi) \Delta t_i$$
$$\leq \sum_{i \in I_1} \varepsilon \Delta t_i + \sum_{i \in I_2} 2M \Delta t_i$$
$$\leq \varepsilon (b-a) + 2M \cdot \frac{\varepsilon}{2M} = \varepsilon (b-a) + \varepsilon = \varepsilon (b-a+1).$$
公式：$$\sum \omega_i(f\circ\varphi) \Delta t_i \leq \varepsilon(b-a) + \varepsilon$$
提示：坏区间总长度的控制是关键，注意 $\varepsilon$ 的任意性。
步骤 6/6
目标：由可积性充要条件得出结论
由于 $\varepsilon$ 可以任意小，因此对任意 $\eta > 0$，取 $\varepsilon = \frac{\eta}{b-a+1}$，则存在分割使得达布和之差小于 $\eta$。
根据黎曼可积的充要条件（达布上和与下和之差可以任意小），可知 $f(\varphi(t))$ 在 $(a, b)$ 上可积。
证毕。
公式：$$\forall \eta>0, \exists \text{分割} P, \sum \omega_i(f\circ\varphi) \Delta t_i < \eta$$
提示：最终归结为达布可积的充要条件，注意 $\varepsilon$ 与 $\eta$ 的转换。
步骤 7/8
目标：选取参数使总和任意小，完成证明
给定任意 $\varepsilon_0 > 0$，取 $\varepsilon = \frac{\varepsilon_0}{2(b-a)}$，由一致连续性得到对应的 $\delta$。再取 $\eta = \frac{\delta \varepsilon_0}{2K}$，则第二类区间总长度 $< \frac{\varepsilon_0}{2K}$，第二类贡献 $< K \cdot \frac{\varepsilon_0}{2K} = \frac{\varepsilon_0}{2}$。第一类贡献 $\leq \varepsilon \cdot (b-a) = \frac{\varepsilon_0}{2}$。于是总和 $< \varepsilon_0$。由振幅判别法，$f(\varphi(t))$ 在 $(a, b)$ 上可积。
公式：$\sum \omega_i(f \circ \varphi) \Delta t_i < \varepsilon_0$
提示：参数选取的关键是让两类贡献各不超过 $\varepsilon_0/2$，注意 $b-a$ 是区间长度，$K$ 是常数，确保分母不为零。
步骤 8/8
目标：得出结论
因此，在所述条件下，复合函数 $f(\varphi(t))$ 在 $(a, b)$ 上Riemann可积。
提示：本题的证明核心是利用外层函数的一致连续性和内层函数的可积性，通过划分将振幅和分解为可控的两部分。
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