中国地质大学(武汉) 2026年数学分析第0题

考虑级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}$。当 $n$ 很大时，$\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} \sim \frac{1}{n}$，而调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 发散。使用比较判别法的极限形式：计算极限 $\lim_{n\to\infty} \frac{1/\sqrt{n^2+1}}{1/n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+1}} = 1$，极限为非零常数，故原级数与调和级数同敛散，因此发散。

考虑级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} \sin \frac{\pi}{3^{n}}$。当 $n$ 很大时，$\frac{\pi}{3^n}$ 很小，有 $\sin\frac{\pi}{3^n} \sim \frac{\pi}{3^n}$，因此通项 $2^n \sin\frac{\pi}{3^n} \sim \pi \left(\frac{2}{3}\right)^n$。几何级数 $\sum (2/3)^n$ 收敛（公比 $2/3<1$）。用比较判别法极限形式：$\lim_{n\to\infty} \frac{2^n \sin(\pi/3^n)}{\pi (2/3)^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sin(\pi/3^n)}{\pi/3^n} = 1$，故原级数收敛。

考虑级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!}$。记 $a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!}$，用比值判别法：计算 $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} = \frac{n+1}{2(2n+1)}$。当 $n\to\infty$，$\frac{n+1}{4n+2} \to \frac{1}{4} < 1$，因此级数收敛。

根据以上分析，级数(1)发散，级数(2)收敛，级数(3)收敛。

（1）发散；（2）收敛；（3）收敛（按常见形式 $(2n)!$ 理解）。

计算极限： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+2n+1}{4n^2+6n+2} = \frac{1}{4} < 1. $$ 因此，由比值判别法，原级数收敛。