中国矿业大学徐州 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+2, x \geq 0 \\ x-2, x<0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处的连续情况是
A．不连续
B．左连续但不右连续
C．右连续但不左连续
D．左连续且右连续
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解连续的定义
函数在某点连续需满足三个条件：该点有定义；左极限存在且等于函数值；右极限存在且等于函数值。左连续只要求左极限等于函数值，右连续只要求右极限等于函数值。
公式：\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0) \quad \text{且} \quad \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)
提示：注意区分连续、左连续和右连续的定义，不要混淆。
步骤 2/5
目标：计算 x=0 处的函数值
由于 x=0 属于第一个分支（x ≥ 0），代入 f(x)=x+2，得 f(0)=0+2=2。
公式：f(0) = 0 + 2 = 2
提示：分段函数求函数值时，注意选择正确的分支。
步骤 3/5
目标：求左极限（x→0⁻）
当 x 从左边趋近于 0 时，使用第二个分支 f(x)=x-2，计算极限：
\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x - 2) = 0 - 2 = -2。
公式：\lim_{x \to 0^-} f(x) = -2
提示：左极限不等于函数值，因此不满足左连续条件。
步骤 4/5
目标：求右极限（x→0⁺）
当 x 从右边趋近于 0 时，使用第一个分支 f(x)=x+2，计算极限：
\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + 2) = 0 + 2 = 2。
公式：\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2
提示：右极限等于函数值，因此满足右连续条件。
步骤 5/5
目标：判断连续性并得出结论
由于左极限(-2) ≠ 函数值(2)，右极限(2) = 函数值(2)，所以函数在 x=0 处右连续但不左连续，因此也不连续。
公式：\lim_{x \to 0^-} f(x) \neq f(0), \quad \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)
提示：连续要求左右极限均等于函数值，缺一不可。
步骤 6/6
目标：综合判断连续性并得出结论
由于左极限不等于右极限，函数在$x=0$处不连续。但右极限等于函数值，因此是右连续但不左连续。
公式：$$\lim_{x \to 0^-} f(x) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x)$$
提示：函数在一点连续必须同时满足左连续和右连续，这里只满足右连续。
步骤 7/8
目标：判断整体连续性
由于左极限不等于右极限，因此 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 不存在，函数在 $x=0$ 处不连续。但右连续成立，左连续不成立。
提示：不连续不一定意味着左右都不连续，可能一侧连续。
步骤 8/8
目标：选择正确选项
根据以上分析，函数在 $x=0$ 处右连续但不左连续，对应选项 C。
提示：注意选项含义：A不连续，B左连续但不右连续，C右连续但不左连续，D左连续且右连续。
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