中国矿业大学徐州 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．变上限积分 $\int_{0}^{x} t e^{t} d t=$
A．
B．
C．
D．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别积分类型并选择方法
被积函数为 $t e^{t}$，是幂函数与指数函数的乘积，适合使用分部积分法。
公式：分部积分公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：注意选择 $u$ 和 $dv$ 时，通常让 $u$ 为容易求导的函数，$dv$ 为容易积分的函数。
步骤 2/6
目标：设定分部积分的变量
令 $u = t$，$dv = e^{t} \, dt$，则 $du = dt$，$v = e^{t}$。
公式：$u = t$，$dv = e^{t} dt$
提示：不要忘记 $du$ 和 $v$ 的正确表达式。
步骤 3/6
目标：应用分部积分公式求不定积分
代入公式：$\int t e^{t} \, dt = t e^{t} - \int e^{t} \, dt = t e^{t} - e^{t} + C$。
公式：$\int t e^{t} dt = t e^{t} - e^{t} + C$
提示：积分常数 $C$ 在定积分中会抵消，但计算不定积分时不能遗漏。
步骤 4/6
目标：化简不定积分结果
提取公因子 $e^{t}$：$t e^{t} - e^{t} = e^{t}(t - 1)$，所以 $\int t e^{t} dt = e^{t}(t - 1) + C$。
公式：$\int t e^{t} dt = e^{t}(t - 1) + C$
提示：化简后形式更简洁，便于代入上下限。
步骤 5/6
目标：代入上下限计算定积分
由牛顿-莱布尼茨公式：$\int_{0}^{x} t e^{t} dt = \left[ e^{t}(t - 1) \right]_{0}^{x} = e^{x}(x - 1) - e^{0}(0 - 1)$。
公式：$\left[ e^{t}(t - 1) \right]_{0}^{x} = e^{x}(x - 1) - 1 \cdot (-1)$
提示：注意代入下限时 $e^{0}=1$，且 $0-1=-1$。
步骤 6/6
目标：计算并得出最终结果
计算：$e^{x}(x - 1) - (-1) = e^{x}(x - 1) + 1$。
公式：$\int_{0}^{x} t e^{t} dt = (x - 1)e^{x} + 1$
提示：最终结果是一个关于 $x$ 的函数，不要遗漏常数项 $+1$。
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