中国矿业大学徐州 2026年数学分析第0题
📝 题目
4．若数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收玫，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)$ 的收玫性是
A．
B．
C．
D．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析已知条件
已知数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收敛，即该级数收敛，但绝对值级数 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}|$ 发散。
提示：条件收敛意味着收敛但不绝对收敛，这是判断新级数性质的关键前提。
步骤 2/7
目标：分解新级数
新级数为 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)$，将其部分和分解为两部分：
$$S_N = \sum_{n=1}^{N} a_{n} + \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^{2}}$$
公式：$S_N = \sum_{n=1}^{N} a_{n} + \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^{2}}$
提示：注意将级数拆分为两个已知收敛性的级数之和。
步骤 3/7
目标：判断第一部分收敛性
由条件收敛的定义，$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，设其和为 $A$（有限数）。
公式：$\lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} a_{n} = A$
提示：条件收敛保证原级数收敛，但绝对值发散。
步骤 4/7
目标：判断第二部分收敛性
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 是 $p=2$ 的 $p$-级数，由于 $p>1$，该级数绝对收敛，设其和为 $B = \frac{\pi^{2}}{6}$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6}$
提示：$p$-级数 $\sum \frac{1}{n^p}$ 在 $p>1$ 时收敛，$p \le 1$ 时发散。
步骤 5/7
目标：判断新级数的收敛性
两个收敛级数的和仍然收敛，因此新级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)$ 收敛，其和为 $A+B$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+\frac{1}{n^{2}}\right) = A + B$
提示：收敛级数的线性组合仍收敛，这是级数运算的基本性质。
步骤 6/7
目标：判断新级数的绝对收敛性
考虑绝对值级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left| a_{n} + \frac{1}{n^{2}} \right|$。由于 $\sum |a_n|$ 发散，且 $\frac{1}{n^{2}}$ 为正且趋于0，对于足够大的 $n$，有 $\left| a_n + \frac{1}{n^{2}} \right| \ge |a_n| - \frac{1}{n^{2}}$。但更直接地，若 $\sum \left| a_n + \frac{1}{n^{2}} \right|$ 收敛，则 $\sum |a_n|$ 也会收敛（因为 $|a_n| \le \left| a_n + \frac{1}{n^{2}} \right| + \frac{1}{n^{2}}$），这与已知矛盾。故绝对值级数发散。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \left| a_{n} + \frac{1}{n^{2}} \right|$ 发散
提示：利用比较判别法或反证法：若绝对值级数收敛，则原绝对值级数也收敛，与条件收敛矛盾。
步骤 7/7
目标：得出结论
新级数收敛但非绝对收敛，因此是条件收敛。
提示：区分条件收敛与绝对收敛：收敛但绝对值发散即为条件收敛。
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