中国矿业大学徐州 2026年数学分析第0题

观察被积表达式 $\frac{x\,dy - y\,dx}{x^2+y^2}$，这恰好是极坐标下角度微分 $d\theta = \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2+y^2}$。椭圆 $C: x^2+2y^2=1$ 包围原点 $(0,0)$，而被积函数在原点处不连续（分母为零），因此不能直接应用格林公式于整个椭圆内部区域。

取以原点为中心、半径 $\varepsilon$ 足够小的圆周 $C_\varepsilon$（$\varepsilon>0$ 且使小圆完全位于椭圆内部），并取 $C_\varepsilon$ 为顺时针方向。椭圆 $C$ 为逆时针方向，则 $C$ 与 $C_\varepsilon$ 围成一个环形区域，该区域不包含原点，被积函数在该区域上无奇点。

令 $P = \frac{-y}{x^2+y^2}$，$Q = \frac{x}{x^2+y^2}$。计算偏导数： $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{(x^2+y^2) - x\cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}, $$ $$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-(x^2+y^2) + y\cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}. $$ 因此 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$，在不含原点的区域上格林公式成立。

在环形区域上应用格林公式，由于被积函数满足 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}=0$，有 $$ \oint_{C} \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2+y^2} + \oint_{C_\varepsilon(\text{顺时针})} \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2+y^2} = 0. $$ 即 $$ \oint_{C} = -\oint_{C_\varepsilon(\text{顺时针})}. $$

在小圆 $x^2+y^2 = \varepsilon^2$ 上，取逆时针参数化：$x = \varepsilon\cos\theta,\; y = \varepsilon\sin\theta,\; \theta: 0\to 2\pi$。则 $$ x\,dy - y\,dx = \varepsilon^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\,d\theta = \varepsilon^2 d\theta, $$ 分母 $x^2+y^2 = \varepsilon^2$，故被积函数化为 $d\theta$。逆时针一周积分为 $\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$。顺时针方向积分则为 $-2\pi$。

由步骤4的关系 $\oint_{C} = -\oint_{C_\varepsilon(\text{顺时针})}$，代入顺时针小圆积分 $-2\pi$，得 $$ \oint_{C} = -(-2\pi) = 2\pi. $$ 因此椭圆逆时针方向上的积分值为 $2\pi$。