中国矿业大学徐州 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域有定义，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=1$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：由已知极限条件得到 f(x) 的局部近似表达式
已知 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = 1$，根据极限定义，当 $x \to 0$ 时，$\frac{f(x)}{x^2} = 1 + o(1)$，即 $f(x) = x^2 + o(x^2)$，其中 $o(x^2)$ 表示比 $x^2$ 更高阶的无穷小。
公式：f(x) = x^2 + o(x^2)
提示：注意 $o(x^2)$ 的含义，它表示一个无穷小量，满足 $\frac{o(x^2)}{x^2} \to 0$。
步骤 2/5
目标：分析所求极限的底数部分，判断极限类型
计算 $\frac{f(x)}{x} = \frac{x^2 + o(x^2)}{x} = x + o(x)$，于是 $1 + \frac{f(x)}{x} = 1 + x + o(x)$。当 $x \to 0$ 时，底数 $1 + \frac{f(x)}{x} \to 1$，指数 $\frac{1}{x} \to \infty$，因此极限为 $1^\infty$ 型不定式。
公式：1 + \frac{f(x)}{x} = 1 + x + o(x)
提示：识别 $1^\infty$ 型是后续取对数处理的关键。
步骤 3/5
目标：化为指数形式，取对数处理
令 $L = \displaystyle \lim_{x \to 0} \left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$，则 $\ln L = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)}{x}$。
公式：\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)}{x}
提示：取对数后，极限形式转化为 $\frac{0}{0}$ 型，便于使用等价无穷小。
步骤 4/5
目标：利用等价无穷小化简对数部分
由于 $\frac{f(x)}{x} = x + o(x) \to 0$，当 $t \to 0$ 时 $\ln(1+t) \sim t$，所以 $\ln\left(1+\frac{f(x)}{x}\right) \sim \frac{f(x)}{x}$。代入得 $\ln L = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{f(x)}{x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2}$。
公式：\ln\left(1+\frac{f(x)}{x}\right) \sim \frac{f(x)}{x}
提示：使用等价无穷小时，必须确保 $\frac{f(x)}{x} \to 0$，此处成立。
步骤 5/5
目标：代入已知极限条件，得到最终结果
由已知 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = 1$，得 $\ln L = 1$，因此 $L = e^1 = e$。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = 1 \Rightarrow \ln L = 1 \Rightarrow L = e
提示：注意取对数后极限存在且为1，则原极限为 $e$。
步骤 6/6
目标：得出最终极限值
由 $\ln L = 1$ 得 $L = e^1 = e$。
公式：\lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}} = e
提示：最终结果与 $f(x)$ 的具体形式无关，只依赖于条件 $f(x) \sim x^2$。
步骤 7/7
目标：得出原极限值
由 $\ln L = 1$ 得 $L = e^1 = e$。
公式：$L = e$
提示：取指数时注意底数为自然常数 $e$。
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