中国矿业大学徐州 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．求曲面积分 $\oiint_{\Sigma} y^{2} z d x d y+x z d y d z+x^{2} y d z d x$ ，其中 $\Sigma$ 为由 $x^{2}+y^{2}=1, z=x^{2}+y^{2}$ 与 $z=0$ 所围成的封闭曲面，方向取外侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确曲面与区域
曲面 Σ 由三部分组成：
1. 圆柱侧面：\(x^2 + y^2 = 1\)，介于 \(z=0\) 与 \(z = x^2 + y^2\) 之间。在圆柱面上，\(z\) 的下边界是 0，上边界是 1（因为当 \(x^2+y^2=1\) 时，\(z=1\)）。
2. 下底面：\(z=0\)，在圆盘 \(x^2+y^2 \le 1\) 上。
3. 上顶面：抛物面 \(z = x^2 + y^2\)，在 \(x^2+y^2 \le 1\) 上。
它们围成的空间区域 V 是：
\[ 0 \le z \le x^2 + y^2,\quad x^2 + y^2 \le 1. \]
公式：V: \(0 \le z \le x^2 + y^2,\; x^2 + y^2 \le 1\)
提示：注意封闭曲面由三个不同部分构成，要正确描述每个部分的方程和范围。
步骤 2/5
目标：应用高斯公式
高斯公式：
\[ \oiint_{\Sigma} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV, \]
其中方向取外侧。
对照题目：
\[ P = xz,\quad Q = x^2 y,\quad R = y^2 z. \]
计算散度：
\[ \frac{\partial P}{\partial x} = z,\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = x^2,\quad \frac{\partial R}{\partial z} = y^2. \]
所以散度为：
\[ z + x^2 + y^2. \]
公式：散度：\(\nabla \cdot \mathbf{F} = x^2 + y^2 + z\)
提示：高斯公式适用于封闭曲面且取外侧，注意正确识别 P、Q、R 对应的微分形式。
步骤 3/5
目标：转化为三重积分并选择坐标系
原曲面积分等于：
\[ \iiint_V (x^2 + y^2 + z)\,dV. \]
区域 V 适合用柱坐标：
\[ x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z, \]
其中 \(0 \le r \le 1\)，\(0 \le \theta \le 2\pi\)，且 \(0 \le z \le r^2\)。
被积函数在柱坐标下为：
\[ x^2 + y^2 + z = r^2 + z. \]
体积元 \(dV = r\,dr\,d\theta\,dz\)。
公式：柱坐标变换：\(x^2+y^2=r^2,\; dV=r\,dr\,d\theta\,dz\)
提示：柱坐标适合旋转对称区域，注意积分限：r 从 0 到 1，z 从 0 到 r^2。
步骤 4/5
目标：计算三重积分
先对 \(z\) 积分：
\[ \int_{z=0}^{r^2} (r^2 + z)\,dz = \left[ r^2 z + \frac{z^2}{2} \right]_{0}^{r^2} = r^4 + \frac{r^4}{2} = \frac{3}{2} r^4. \]
再对 \(r\) 和 \(\theta\) 积分：
\[ \iiint_V (r^2+z)\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} \left( \frac{3}{2} r^4 \right) r\,dr\,d\theta = \frac{3}{2} \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r^5\,dr. \]
计算：
\[ \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi,\quad \int_0^1 r^5\,dr = \frac{1}{6}. \]
所以结果为：
\[ \frac{3}{2} \times 2\pi \times \frac{1}{6} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2\pi}{6} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}. \]
公式：积分结果：\(\frac{3}{2} \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{6} = \frac{\pi}{2}\)
提示：先对 z 积分时注意将 r 视为常数；计算 r^5 的积分时小心指数运算。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此原曲面积分的值为 \(\frac{\pi}{2}\)。
公式：\[ \boxed{\frac{\pi}{2}} \]
提示：最终答案需化简为最简分数形式。
步骤 6/8
目标：逐层积分：再对 r 积分
对 $r$ 积分：
$$\int_{r=0}^{1}\frac{3}{2}r^5\,dr = \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{4}$$
公式：\int_{0}^{1}\frac{3}{2}r^5\,dr = \frac{1}{4}
提示：注意 $\int r^5\,dr = \frac{r^6}{6}$。
步骤 7/8
目标：逐层积分：最后对 θ 积分
对 $\theta$ 积分：
$$\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{4}\,d\theta = \frac{1}{4}\cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}$$
公式：\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{4}\,d\theta = \frac{\pi}{2}
提示：被积函数与 $\theta$ 无关，直接乘以 $2\pi$。
步骤 8/8
目标：得出最终结果
因此，原曲面积分的值为 $\frac{\pi}{2}$。
公式：\boxed{\frac{\pi}{2}}
提示：检查高斯公式使用条件是否满足，以及积分计算是否正确。
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