中国矿业大学徐州 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，求 $f_{x y}(0,0), f_{y x}(0,0)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确题目要求和已知条件
题目要求计算函数 $f(x,y)$ 在原点 $(0,0)$ 处的两个混合偏导数 $f_{xy}(0,0)$ 和 $f_{yx}(0,0)$。函数为分段定义：当 $(x,y) \neq (0,0)$ 时，$f(x,y)=\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}$；当 $(x,y)=(0,0)$ 时，$f(0,0)=0$。由于函数在原点处由分段形式给出，不能直接使用求导公式，必须用偏导数的定义进行计算。
公式：f_{xy}(0,0) = \lim_{k\to 0}\frac{f_x(0,k)-f_x(0,0)}{k}, \quad f_{yx}(0,0) = \lim_{h\to 0}\frac{f_y(h,0)-f_y(0,0)}{h}
提示：注意混合偏导的定义顺序：$f_{xy}$ 表示先对 $x$ 求偏导再对 $y$ 求偏导。
步骤 2/7
目标：计算一阶偏导数 $f_x(0,0)$ 和 $f_y(0,0)$
由偏导数的定义：
$$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$$
当 $y=0$ 时，$f(h,0)=\frac{h\cdot0\cdot(h^2-0)}{h^2+0}=0$，且 $f(0,0)=0$，故极限为 $0$，即 $f_x(0,0)=0$。
同理，
$$f_y(0,0) = \lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}$$
当 $x=0$ 时，$f(0,k)=0$，所以 $f_y(0,0)=0$。
公式：f_x(0,0)=0,\quad f_y(0,0)=0
提示：计算一阶偏导时，直接代入 $y=0$ 或 $x=0$ 可简化分子，注意不要遗漏分母的 $h$ 或 $k$。
步骤 3/7
目标：计算 $f_x(0,k)$ 的表达式
固定 $y=k\neq0$，在 $x=0$ 处对 $x$ 求偏导。由定义：
$$f_x(0,k)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,k)-f(0,k)}{h}$$
其中 $f(0,k)=0$，$f(h,k)=\frac{hk(h^2-k^2)}{h^2+k^2}$，代入得：
$$f_x(0,k)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot\frac{hk(h^2-k^2)}{h^2+k^2}=\lim_{h\to 0}\frac{k(h^2-k^2)}{h^2+k^2}$$
当 $h\to0$ 时，分子 $\to k(0-k^2)=-k^3$，分母 $\to k^2$，故极限为 $\frac{-k^3}{k^2}=-k$。因此 $f_x(0,k)=-k$。
公式：f_x(0,k) = -k
提示：此处 $h$ 是趋于 $0$ 的变量，$k$ 是固定的非零常数，极限计算时注意 $h$ 的幂次。
步骤 4/7
目标：计算 $f_{xy}(0,0)$
利用混合偏导的定义：
$$f_{xy}(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f_x(0,k)-f_x(0,0)}{k}$$
已知 $f_x(0,0)=0$，$f_x(0,k)=-k$，代入得：
$$f_{xy}(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{-k-0}{k}=-1$$
公式：f_{xy}(0,0) = -1
提示：注意极限过程 $k\to0$，分子分母的 $k$ 约简后直接得到 $-1$。
步骤 5/7
目标：计算 $f_y(h,0)$ 的表达式
固定 $x=h\neq0$，在 $y=0$ 处对 $y$ 求偏导。由定义：
$$f_y(h,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(h,k)-f(h,0)}{k}$$
其中 $f(h,0)=0$，$f(h,k)=\frac{hk(h^2-k^2)}{h^2+k^2}$，代入得：
$$f_y(h,0)=\lim_{k\to 0}\frac{1}{k}\cdot\frac{hk(h^2-k^2)}{h^2+k^2}=\lim_{k\to 0}\frac{h(h^2-k^2)}{h^2+k^2}$$
当 $k\to0$ 时，分子 $\to h\cdot h^2 = h^3$，分母 $\to h^2$，故极限为 $\frac{h^3}{h^2}=h$。因此 $f_y(h,0)=h$。
公式：f_y(h,0) = h
提示：与第三步对称，注意此处 $h$ 是固定的非零常数，$k$ 是趋于 $0$ 的变量。
步骤 6/7
目标：计算 $f_{yx}(0,0)$
利用混合偏导的定义：
$$f_{yx}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f_y(h,0)-f_y(0,0)}{h}$$
已知 $f_y(0,0)=0$，$f_y(h,0)=h$，代入得：
$$f_{yx}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{h-0}{h}=1$$
公式：f_{yx}(0,0) = 1
提示：注意极限过程 $h\to0$，分子分母的 $h$ 约简后直接得到 $1$。
步骤 7/7
目标：总结结论
计算得到两个混合偏导数在原点处的值不相等：
$$f_{xy}(0,0) = -1,\quad f_{yx}(0,0) = 1$$
这表明函数 $f(x,y)$ 在原点处的二阶混合偏导数与求导顺序有关，从而说明二阶混合偏导数在原点处不连续。
公式：f_{xy}(0,0) = -1,\quad f_{yx}(0,0) = 1
提示：一般情况下，若二阶混合偏导连续，则它们相等；此处不等，验证了不连续性。
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