中国矿业大学徐州 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．函数 $\displaystyle f(x)=(x-1) x^{\frac{2}{3}}$ 的极大值是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定函数定义域
函数为 $f(x) = (x-1) x^{\frac{2}{3}}$。由于 $x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2}$ 对任意实数 $x$ 均有定义，因此定义域为 $(-\infty, +\infty)$。
公式：f(x) = (x-1) x^{\frac{2}{3}}
提示：注意 $x^{\frac{2}{3}}$ 在 $x<0$ 时也有定义，因为奇次根号下允许负数。
步骤 2/5
目标：求导数
使用乘法法则求导：
\[ f'(x) = 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} + (x-1) \cdot \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2}{3}(x-1)x^{-\frac{1}{3}} \]
将第一项化为 $x \cdot x^{-\frac{1}{3}}$，提取公因式 $x^{-\frac{1}{3}}$：
\[ f'(x) = x^{-\frac{1}{3}} \left[ x + \frac{2}{3}(x-1) \right] = x^{-\frac{1}{3}} \left( \frac{5}{3}x - \frac{2}{3} \right) = \frac{5x-2}{3\,x^{\frac{1}{3}}} \]
公式：f'(x) = \frac{5x-2}{3\,x^{\frac{1}{3}}}
提示：注意 $x^{\frac{2}{3}}$ 的导数为 $\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$，不要忘记系数。
步骤 3/5
目标：找出临界点
导数等于零的点：分子 $5x-2=0$，解得 $x=\frac{2}{5}$。
导数不存在的点：分母 $x^{\frac{1}{3}}=0$，即 $x=0$。
因此临界点为 $x=0$ 和 $x=\frac{2}{5}$。
公式：5x-2=0 \Rightarrow x=\frac{2}{5}; \quad x^{\frac{1}{3}}=0 \Rightarrow x=0
提示：分母为零的点也是临界点，需要单独考虑。
步骤 4/5
目标：用一阶导数符号判断极值
取测试点：
- 当 $x<0$（如 $x=-1$）：分子 $5(-1)-2=-7<0$，分母 $(-1)^{\frac{1}{3}}=-1<0$，负负得正，$f'(x)>0$，函数递增。
- 当 $00$，$f'(x)<0$，函数递减。
- 当 $x>\frac{2}{5}$（如 $x=1$）：分子 $5-2=3>0$，分母 $>0$，$f'(x)>0$，函数递增。
因此：$x=0$ 处导数由正变负，是极大值点；$x=\frac{2}{5}$ 处导数由负变正，是极小值点。
公式：f'(x) 符号变化：正→负（x=0），负→正（x=2/5）
提示：注意分母 $x^{1/3}$ 在 $x<0$ 时为负，会影响整体符号。
步骤 5/5
目标：计算极大值
极大值点为 $x=0$，代入原函数：
\[ f(0) = (0-1) \cdot 0^{\frac{2}{3}} = (-1) \cdot 0 = 0 \]
公式：f(0)=0
提示：注意 $0^{\frac{2}{3}}=0$，不要误以为无定义。
步骤 6/7
目标：计算极大值
极大值在 $x=0$ 处取得：$f(0) = (0-1)\cdot 0^{\frac{2}{3}} = (-1)\cdot 0 = 0$。
提示：注意 $0^{\frac{2}{3}} = 0$，计算时不要出错。
步骤 7/7
目标：得出最终答案
函数的极大值为 $0$。
提示：答案应填写在空格中。
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