中国矿业大学徐州 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(n^{2}+1\right)^{\frac{1}{n}}-1\right] \sin \frac{n \pi}{2}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析表达式结构，判断极限存在的可能性
考虑极限 $\lim_{n\to\infty} \left[ (n^2+1)^{1/n} - 1 \right] \sin\frac{n\pi}{2}$。注意到 $\sin\frac{n\pi}{2}$ 在 $n$ 取不同整数时循环取值 $0,1,0,-1$，不收敛。因此极限是否存在取决于前面因子是否趋于 $0$ 以及趋于 $0$ 的速度。
提示：不要忽略正弦部分的振荡性，需要分别考虑子列。
步骤 2/6
目标：化简 $(n^2+1)^{1/n} - 1$ 的渐近行为
取对数：$(n^2+1)^{1/n} = e^{\frac{1}{n}\ln(n^2+1)}$。而 $\ln(n^2+1) = 2\ln n + \ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)$，当 $n\to\infty$ 时，$\frac{1}{n}\ln(n^2+1) = \frac{2\ln n}{n} + O\left(\frac{1}{n^3}\right) \to 0$。利用 $e^x - 1 \sim x$（$x\to 0$），得 $(n^2+1)^{1/n} - 1 \sim \frac{2\ln n}{n}$。
公式：$(n^2+1)^{1/n} - 1 \sim \frac{2\ln n}{n}$
提示：注意 $\ln(n^2+1)$ 展开时不要遗漏高阶项，但此处只需主项。
步骤 3/6
目标：分析正弦部分的取值规律
当 $n$ 为偶数时，设 $n=2k$，则 $\sin\frac{2k\pi}{2} = \sin(k\pi) = 0$；当 $n$ 为奇数时，设 $n=2k+1$，则 $\sin\frac{(2k+1)\pi}{2} = \sin\left(k\pi + \frac{\pi}{2}\right) = (-1)^k$，即交替取 $1$ 和 $-1$。
公式：$\sin\frac{n\pi}{2} = \begin{cases} 0, & n \text{为偶数} \\ (-1)^k, & n=2k+1 \end{cases}$
提示：正弦部分有界但不收敛，需分奇偶子列讨论。
步骤 4/6
目标：计算偶数子列的极限
当 $n=2k$ 时，$\sin\frac{n\pi}{2}=0$，因此整个表达式为 $0$。故偶数子列极限为 $0$。
提示：偶数项直接为0，无需进一步计算。
步骤 5/6
目标：计算奇数子列的极限
当 $n=2k+1$ 时，表达式为 $(-1)^k \left[ ((2k+1)^2+1)^{1/(2k+1)} - 1 \right]$。由第一步知 $((2k+1)^2+1)^{1/(2k+1)} - 1 \sim \frac{2\ln(2k+1)}{2k+1} \to 0$，而 $(-1)^k$ 有界，因此奇数子列也趋于 $0$。
公式：$\lim_{k\to\infty} \left[ ((2k+1)^2+1)^{1/(2k+1)} - 1 \right] = 0$
提示：有界量乘以无穷小量仍为无穷小量。
步骤 6/6
目标：综合子列极限，得出原极限
由于偶数子列和奇数子列均收敛于 $0$，因此原极限存在且为 $0$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \left[ (n^2+1)^{1/n} - 1 \right] \sin\frac{n\pi}{2} = 0$
提示：注意子列极限一致是原极限存在的必要条件。
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