中国矿业大学徐州 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．若函数 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的连续函数，若 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的的 Fourier 级数展开式为
$\displaystyle f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)$ ，则 $\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(x) d x=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和待求表达式
已知函数 $f(x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的连续函数，在 $[-\pi, \pi]$ 上的 Fourier 级数展开式为 $f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$。需要计算 $\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) \, dx$。
公式：无
提示：注意 $f(x)$ 是连续函数，因此 Fourier 级数逐点收敛到 $f(x)$，可以逐项积分。
步骤 2/5
目标：回忆 Fourier 系数的定义
Fourier 系数由以下积分给出：
$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx, \quad a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$$
公式：$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx, \quad a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$$
提示：注意 $a_0$ 的定义中分母是 $\pi$，而不是 $2\pi$，这与常数项 $\frac{a_0}{2}$ 的写法一致。
步骤 3/5
目标：写出 Parseval 等式（能量恒等式）
对于周期为 $2\pi$ 的实值函数，Parseval 等式指出函数平方的平均值等于 Fourier 系数的平方和：
$$\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) \, dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2)$$
公式：$$\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) \, dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2)$$
提示：这是 Fourier 分析中的核心恒等式，来源于正交基的完备性。
步骤 4/5
目标：推导 Parseval 等式的思路（正交性）
三角函数系 $\{ \frac{1}{\sqrt{2}}, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \dots \}$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上正交，满足：
$$\int_{-\pi}^{\pi} 1 \, dx = 2\pi, \quad \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(nx) \, dx = \pi, \quad \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2(nx) \, dx = \pi$$
将 $f(x)$ 的 Fourier 展开代入 $\int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) \, dx$，利用正交性，交叉项积分为零，仅保留平方项，即可得到上述结果。
公式：$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx) \cos(nx) \, dx = \pi \delta_{mn}, \quad \int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx = \pi \delta_{mn}, \quad \int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx) \sin(nx) \, dx = 0$$
提示：注意 $\frac{a_0}{2}$ 项的平方积分贡献为 $\frac{a_0^2}{4} \cdot 2\pi = \frac{a_0^2 \pi}{2}$，除以 $\pi$ 后得 $\frac{a_0^2}{2}$。
步骤 5/5
目标：直接写出最终答案
根据 Parseval 等式，所求表达式为：
$$\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) \, dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2)$$
公式：$$\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) \, dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2)$$
提示：该结果不依赖于 $f(x)$ 的具体形式，只依赖于其 Fourier 系数。
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