中国矿业大学徐州 2026年数学分析第0题

我们知道基本的对数展开公式： \[ \ln(1+u) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} u^n, \quad |u|<1. \] 题目中的函数是 \(\ln(1 - x + x^2)\)，因此我们令 \(u = -x + x^2\)，将问题转化为已知展开式的代入。

将 \(u = -x + x^2\) 代入展开式，得到： \[ \ln(1 - x + x^2) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} (-x + x^2)^n. \] 接下来需要将 \((-x + x^2)^n\) 展开，并按 \(x\) 的幂次合并同类项。

观察到 \(1 - x + x^2\) 可以因式分解： \[ 1 - x + x^2 = \frac{1 + x^3}{1 + x}, \] 因为 \((1+x)(1-x+x^2) = 1 + x^3\)。于是： \[ \ln(1 - x + x^2) = \ln(1 + x^3) - \ln(1 + x). \] 这样就将原函数分解为两个简单对数函数的差。

利用已知的 \(\ln(1+u)\) 展开式： \[ \ln(1 + x^3) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{3n}, \] \[ \ln(1 + x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}. \] 因此： \[ \ln(1 - x + x^2) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{3n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}. \]

将两个级数合并，考虑 \(x^k\) 的系数： - 当 \(k\) 不是 3 的倍数时，只有第二个级数贡献，系数为 \(\frac{(-1)^k}{k}\)。 - 当 \(k = 3m\) 时，两个级数都有贡献：来自第一个级数的项为 \(\frac{(-1)^{3m-1}}{3m}\)，来自第二个级数的项为 \(\frac{(-1)^{3m}}{3m}\)。由于 \((-1)^{3m-1} = -(-1)^{3m}\)，两者相加为 0。 因此，所有 3 的倍数次项的系数为 0。最终展开式为： \[ \ln(1 - x + x^2) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} x^n, \quad \text{其中 } n \text{ 不是 3 的倍数}. \] 另一种常见写法是： \[ \ln(1 - x + x^2) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{3n-2}}{3n-2} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{3n-1}}{3n-1}. \]

计算： $n=1$：$\cos(2\pi/3)=-1/2$，系数 $=-2\cdot(-1/2)/1=1$，项为 $x$； $n=2$：$\cos(4\pi/3)=-1/2$，系数 $=1/2$，项为 $\frac{1}{2}x^2$； $n=3$：$\cos(2\pi)=1$，系数 $=-2/3$，项为 $-\frac{2}{3}x^3$； $n=4$：$\cos(8\pi/3)=\cos(2\pi/3)=-1/2$，系数 $=1/4$； $n=5$：$\cos(10\pi/3)=\cos(4\pi/3)=-1/2$，系数 $=1/5$； $n=6$：$\cos(4\pi)=1$，系数 $=-1/3$。 模式：每三项重复符号“正、正、负”，系数为 $1/n$（$n\equiv1,2\pmod{3}$）或 $-2/n$（$n\equiv0\pmod{3}$）。

因此，$\ln(1-x+x^2)$ 在 $x=0$ 处的幂级数展开式为： $$\ln(1-x+x^2) = \sum_{n=1}^\infty -\frac{2\cos(2\pi n/3)}{n} x^n, \quad |x|<1$$ 或等价地： $$\ln(1-x+x^2) = x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{3}x^6 + \cdots$$