中国矿业大学徐州 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．（15 分）证明： $\operatorname{sgn}(x)=\left\{\begin{array}{c}-1, x<0 \\ 0, x=0 \\ 1, x>0\end{array}\right.$ 在 $[-1,1]$ 上黎曼可积，但在 $[-1,1]$ 上没有原函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明sgn(x)在[-1,1]上有界且几乎处处连续
函数$\operatorname{sgn}(x)$在$[-1,1]$上的值域为$\{-1,0,1\}$，因此有界。其唯一的不连续点是$x=0$，因为左极限$\lim_{x\to 0^-}\operatorname{sgn}(x)=-1$，右极限$\lim_{x\to 0^+}\operatorname{sgn}(x)=1$，而$\operatorname{sgn}(0)=0$。单个点构成的集合是零测集，故函数在$[-1,1]$上几乎处处连续。
公式：\lim_{x\to 0^-}\operatorname{sgn}(x)=-1,\quad \lim_{x\to 0^+}\operatorname{sgn}(x)=1
提示：注意：黎曼可积的充分条件是函数有界且几乎处处连续，这里仅有一个间断点满足条件。
步骤 2/6
目标：由黎曼可积的判定定理得出结论
由于$\operatorname{sgn}(x)$在$[-1,1]$上有界且不连续点集为零测集，根据黎曼可积的勒贝格判别法，函数在$[-1,1]$上黎曼可积。
提示：也可以直接用定义：对任意划分，包含$x=0$的子区间长度可任意小，其余区间上函数为常数，振幅和可任意小。
步骤 3/6
目标：假设存在原函数并推导其形式
假设存在可导函数$F(x)$使得$F'(x)=\operatorname{sgn}(x)$对$[-1,1]$内所有$x$成立。则当$x>0$时，$F'(x)=1$，积分得$F(x)=x+C_1$；当$x<0$时，$F'(x)=-1$，积分得$F(x)=-x+C_2$。
公式：F(x)=\begin{cases} -x+C_2, & x<0 \\ x+C_1, & x>0 \end{cases}
提示：注意积分常数可能不同，需通过连续性确定关系。
步骤 4/6
目标：利用连续性确定常数关系
$F$在$x=0$处必须连续，因此左极限$\lim_{x\to 0^-}F(x)=C_2$等于右极限$\lim_{x\to 0^+}F(x)=C_1$，也等于$F(0)$。令公共常数为$C$，则$F(x)=\begin{cases} -x+C, & x<0 \\ x+C, & x>0 \end{cases}$，且$F(0)=C$。
公式：\lim_{x\to 0^-}F(x)=C_2=C_1=\lim_{x\to 0^+}F(x)
提示：连续性是可导的必要条件，这里必须满足。
步骤 5/6
目标：检查x=0处的可导性
计算左导数：$F'_-(0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{F(0+h)-F(0)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{(-h+C)-C}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{-h}{h}=-1$。计算右导数：$F'_+(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{F(0+h)-F(0)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{(h+C)-C}{h}=1$。左右导数不相等，故$F$在$x=0$处不可导。
公式：F'_-(0)=-1,\quad F'_+(0)=1
提示：左右导数存在但不相等，说明导数不存在，与假设矛盾。
步骤 6/6
目标：得出矛盾并完成证明
假设存在原函数$F$，则$F$在$x=0$处必须可导，但实际计算表明左右导数不相等，因此$F$在$x=0$处不可导，矛盾。故$\operatorname{sgn}(x)$在$[-1,1]$上没有原函数。
提示：原函数要求处处可导，而符号函数在零点有跳跃，导致任何候选函数在该点导数不唯一。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此，不存在这样的原函数 $F(x)$，即 $\operatorname{sgn}(x)$ 在 $[-1,1]$ 上没有原函数。同时，第一步已证明其黎曼可积。
提示：注意：黎曼可积函数不一定有原函数，本例即为反例。
步骤 8/8
目标：总结结论
因此，$\operatorname{sgn}(x)$ 在 $[-1,1]$ 上黎曼可积，但没有原函数。
提示：注意区分黎曼可积与存在原函数：可积不一定有原函数。
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