中国矿业大学徐州 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．（15分）已知 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，证明：$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有最大值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明函数在闭区间上有上界
采用反证法。假设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上无上界，则对任意正整数 $n$，存在 $x_n \in [a,b]$ 使得 $f(x_n) > n$。数列 $\{x_n\}$ 有界，由 Bolzano-Weierstrass 定理，存在收敛子列 $\{x_{n_k}\}$ 收敛到某点 $x_0 \in [a,b]$。由 $f$ 在 $x_0$ 处的连续性，应有 $\lim_{k\to\infty} f(x_{n_k}) = f(x_0)$，但 $f(x_{n_k}) > n_k \to +\infty$，矛盾。故 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有上界。
公式：\lim_{k\to\infty} f(x_{n_k}) = f(x_0) \quad \text{且} \quad f(x_{n_k}) > n_k \to +\infty
提示：注意反证法构造的数列 $\{x_n\}$ 不一定收敛，但必有收敛子列，这是 Bolzano-Weierstrass 定理的关键应用。
步骤 2/4
目标：确界存在
由第一步知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有上界，根据实数的完备性（确界原理），非空有上界的数集必有上确界。记 $M = \sup_{x \in [a,b]} f(x)$，则 $M$ 是有限实数。
公式：M = \sup_{x \in [a,b]} f(x)
提示：上确界 $M$ 不一定属于函数值集合，需要进一步证明可达性。
步骤 3/4
目标：构造逼近上确界的点列
由上确界的定义，对每个正整数 $n$，存在 $y_n \in [a,b]$ 使得 $M - \frac{1}{n} < f(y_n) \le M$。这样得到数列 $\{y_n\}$，它位于闭区间 $[a,b]$ 中，故有界。
公式：M - \frac{1}{n} < f(y_n) \le M
提示：注意 $y_n$ 的选取依赖于 $n$，且 $f(y_n)$ 无限逼近 $M$。
步骤 4/4
目标：利用连续性证明最大值可达
数列 $\{y_n\}$ 有界，故存在收敛子列 $\{y_{n_k}\}$，设其极限为 $x_0 \in [a,b]$（闭区间保证极限仍属于区间）。由 $f$ 的连续性，$\lim_{k\to\infty} f(y_{n_k}) = f(x_0)$。又由夹逼定理，$M - \frac{1}{n_k} < f(y_{n_k}) \le M$，两边取极限得 $\lim_{k\to\infty} f(y_{n_k}) = M$。因此 $f(x_0) = M$，即最大值可达。
公式：f(x_0) = \lim_{k\to\infty} f(y_{n_k}) = M
提示：夹逼定理的使用确保了极限恰好等于 $M$，连续性保证了极限与函数值相等。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上，闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数 $f(x)$ 必在该区间上存在最大值（同理可证最小值）。
公式：\exists x^* \in [a,b], \text{使得} f(x^*) = \max_{x \in [a,b]} f(x)
提示：最值定理包括最大值和最小值，本题只要求证明最大值，但方法对称。
步骤 6/6
目标：证明上确界可达
又因为 $M^*$ 是上确界，所以 $f(x_0) \leq M^*$，从而 $f(x_0)=M^*$。因此 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得最大值 $M^*$。
提示：上确界是上界，故 $f(x_0)\leq M^*$，结合反向不等式得相等。
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