中国矿业大学徐州 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．（15 分）判断 $\alpha$ 取何值时，函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x(\ln n)^{\alpha}}{n^{x}}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收玫．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确一致收敛的定义与极限函数
函数列 $\{f_n\}$ 在区间 $I$ 上一致收敛到极限函数 $f$，是指 $\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in I} |f_n(x)-f(x)| = 0$。先求逐点极限：当 $x=0$ 时，$f_n(0)=0$；当 $x>0$ 时，由于 $n^x = e^{x\ln n}$ 增长远快于 $(\ln n)^\alpha$，有 $\frac{(\ln n)^\alpha}{n^x} \to 0$，故 $f_n(x) \to 0$。因此逐点极限函数为 $f(x)=0, \forall x\in[0,\infty)$。
公式：\lim_{n\to\infty} \sup_{x\ge 0} |f_n(x)-0| = \lim_{n\to\infty} \sup_{x\ge 0} \frac{x (\ln n)^\alpha}{n^x}
提示：注意 $x=0$ 时函数值为0，不影响上确界分析，但需单独确认极限。
步骤 2/4
目标：求函数 $g_n(x)=\frac{x (\ln n)^\alpha}{n^x}$ 在 $[0,\infty)$ 上的最大值
固定 $n$，令 $h(x)=x n^{-x} = x e^{-x\ln n}$。求导得 $h'(x)= e^{-x\ln n}(1 - x\ln n)$。令 $h'(x)=0$ 得驻点 $x = \frac{1}{\ln n}$，且二阶导为负，故为最大值点。代入得 $\max_{x\ge 0} h(x) = \frac{1}{\ln n} e^{-1}$。因此 $\max_{x\ge 0} g_n(x) = (\ln n)^\alpha \cdot \frac{1}{\ln n} \cdot e^{-1} = \frac{(\ln n)^{\alpha-1}}{e}$。
公式：\sup_{x\ge 0} \frac{x (\ln n)^\alpha}{n^x} = \frac{(\ln n)^{\alpha-1}}{e}
提示：求最大值时注意 $x$ 是连续变量，$\ln n$ 视为常数；驻点 $x=1/\ln n$ 在 $n\ge 2$ 时为正，符合区间。
步骤 3/4
目标：分析一致收敛的条件
一致收敛到0要求 $\lim_{n\to\infty} \frac{(\ln n)^{\alpha-1}}{e} = 0$。由于 $\ln n \to \infty$，幂函数 $(\ln n)^{\alpha-1}$ 趋于0当且仅当指数 $\alpha-1 < 0$，即 $\alpha < 1$。若 $\alpha = 1$，上确界为常数 $1/e$，不趋于0；若 $\alpha > 1$，上确界趋于无穷，不一致收敛。
公式：\lim_{n\to\infty} (\ln n)^{\alpha-1} = \begin{cases} 0, & \alpha < 1 \\ 1, & \alpha = 1 \\ +\infty, & \alpha > 1 \end{cases}
提示：注意 $\ln n$ 增长缓慢但无界，指数 $\alpha-1$ 的正负决定极限。
步骤 4/4
目标：总结结论
当 $\alpha < 1$ 时，$\sup_{x\ge 0} |f_n(x)| \to 0$，函数列在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛；当 $\alpha \ge 1$ 时，不一致收敛。因此 $\alpha$ 的取值范围为 $\alpha < 1$。
公式：\boxed{\alpha < 1}
提示：边界 $\alpha=1$ 时上确界非零常数，易误判为收敛，需注意一致收敛要求上确界趋于0。
步骤 5/6
目标：判断一致收敛的参数范围
一致收敛到 $0$ 当且仅当 $\lim_{n\to\infty} (\ln n)^{\alpha-1}=0$。
- 若 $\alpha-1<0$，即 $\alpha<1$，则 $(\ln n)^{\alpha-1}\to 0$，成立。
- 若 $\alpha-1=0$，即 $\alpha=1$，则 $(\ln n)^0=1$，不趋于 $0$。
- 若 $\alpha-1>0$，即 $\alpha>1$，则 $(\ln n)^{\alpha-1}\to +\infty$，不收敛。
故一致收敛的充要条件是 $\alpha<1$。
公式：\lim_{n\to\infty} (\ln n)^{\alpha-1}=0 \iff \alpha<1
提示：注意对数函数增长缓慢，但指数 $\alpha-1$ 的正负决定极限。
步骤 6/6
目标：边界检查与结论
当 $\alpha<1$ 时，上确界趋于 $0$，一致收敛成立；当 $\alpha\ge 1$ 时，上确界不趋于 $0$，不一致收敛。因此函数列在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛当且仅当 $\alpha<1$。
公式：\boxed{\alpha<1}
提示：边界 $\alpha=1$ 时上确界为常数 $1/e$，不趋于 $0$。
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