中国矿业大学徐州 2026年数学分析第0题

已知对任意 $n \geq 1$，有 $a_n \leq b_n \leq c_n$，且 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n$ 均收敛。考虑差值 $b_n - a_n$，由于 $a_n \leq b_n \leq c_n$，可得 $0 \leq b_n - a_n \leq c_n - a_n$。因为 $\sum c_n$ 和 $\sum a_n$ 收敛，所以 $\sum (c_n - a_n)$ 收敛（收敛级数的线性组合仍收敛），且其各项非负。由比较判别法，非负项级数 $\sum (b_n - a_n)$ 被收敛的 $\sum (c_n - a_n)$ 控制，故 $\sum (b_n - a_n)$ 也收敛。于是 $\sum b_n = \sum a_n + \sum (b_n - a_n)$ 是两个收敛级数的和，因此 $\sum b_n$ 收敛。

考虑绝对收敛，即判断 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p+\frac{1}{n}}}$ 的收敛性。注意到 $n^{p+\frac{1}{n}} = n^p \cdot n^{1/n}$，且 $\lim_{n \to \infty} n^{1/n} = 1$。因此当 $n$ 充分大时，$\frac{1}{n^{p+\frac{1}{n}}} \sim \frac{1}{n^p}$。由 $p$-级数的结论，$\sum \frac{1}{n^p}$ 收敛当且仅当 $p > 1$。故原级数绝对收敛的条件是 $p > 1$。

原级数为交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n^{p+\frac{1}{n}}}$，记 $u_n = \frac{1}{n^{p+\frac{1}{n}}}$。首先，$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$ 的必要条件是 $p > 0$（因为当 $p \leq 0$ 时，分母不趋于无穷大，通项不趋于0）。其次，考虑单调性：令 $f(x) = x^{-(p+1/x)}$，取对数求导得 $\frac{f'(x)}{f(x)} = -\frac{p}{x} - \frac{1-\ln x}{x^2}$。当 $x$ 充分大时，$\ln x > 1$，故 $1-\ln x < 0$，但 $-p/x$ 占主导（$p>0$），因此 $f'(x) < 0$，即 $u_n$ 最终单调递减。由莱布尼茨判别法，当 $p > 0$ 时级数收敛。结合绝对收敛结论，当 $0 < p \leq 1$ 时，级数收敛但不绝对收敛，即为条件收敛。

综合以上分析：当 $p > 1$ 时，级数绝对收敛；当 $0 < p \leq 1$ 时，级数条件收敛；当 $p \leq 0$ 时，通项不趋于0，级数发散。注意 $p=0$ 时，$u_n = 1/n^{1/n} \to 1 \neq 0$，发散；$p<0$ 时，$u_n \to +\infty$，发散。