中国矿业大学(北京) 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+2, x \geq 0 \\ x-2, x<0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处的连续情况是
A．不连续
B．左连续但不右连续
C．右连续但不左连续
D．左连续且右连续
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算左极限
当 $x$ 从左侧趋近于 $0$ 时，使用 $x<0$ 的表达式 $f(x)=x-2$，因此左极限为：
\[
\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x-2) = 0 - 2 = -2
\]
公式：\lim_{x \to 0^-} f(x) = -2
提示：注意左极限对应的是 $x<0$ 的分段表达式，代入 $x=0$ 时不要混淆符号。
步骤 2/6
目标：计算右极限
当 $x$ 从右侧趋近于 $0$ 时，使用 $x \ge 0$ 的表达式 $f(x)=x+2$，因此右极限为：
\[
\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x+2) = 0 + 2 = 2
\]
公式：\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2
提示：右极限对应 $x \ge 0$ 的表达式，代入 $x=0$ 时直接计算即可。
步骤 3/6
目标：计算函数值
在 $x=0$ 处，根据分段定义，$x \ge 0$ 时使用 $f(x)=x+2$，所以：
\[
f(0) = 0 + 2 = 2
\]
公式：f(0) = 2
提示：注意 $x=0$ 属于 $x \ge 0$ 的情况，不要误用 $x<0$ 的表达式。
步骤 4/6
目标：判断左连续性
左连续要求左极限等于函数值。左极限为 $-2$，函数值为 $2$，两者不相等，因此函数在 $x=0$ 处不是左连续的。
公式：\lim_{x \to 0^-} f(x) = -2 \neq f(0) = 2
提示：左连续的条件是左极限存在且等于函数值，这里不满足。
步骤 5/6
目标：判断右连续性
右连续要求右极限等于函数值。右极限为 $2$，函数值为 $2$，两者相等，因此函数在 $x=0$ 处是右连续的。
公式：\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2 = f(0)
提示：右连续的条件是右极限存在且等于函数值，这里满足。
步骤 6/6
目标：综合结论
函数在 $x=0$ 处右连续但不左连续，因此应选择选项 C。
提示：注意区分左连续和右连续的定义，不要混淆。
步骤 7/7
目标：得出结论
函数在$x=0$处右连续但不左连续，对应选项C。
提示：注意区分左连续和右连续的定义。
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