中国矿业大学(北京) 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．变上限积分 $\int_{0}^{x} t e^{t} d t=$
A．
B．
C．
D．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别积分类型并选择方法
被积函数为 $t e^{t}$，是幂函数与指数函数的乘积，适合使用分部积分法。分部积分公式为：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$。
公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：当被积函数是两种不同类型函数的乘积时，优先考虑分部积分法。
步骤 2/6
目标：设定分部积分的 u 和 dv
令 $u = t$，$dv = e^{t} \, dt$。则 $du = dt$，$v = \int e^{t} \, dt = e^{t}$。
公式：$u = t, \quad dv = e^{t} \, dt$
提示：选择 $u$ 时通常让 $du$ 更简单，这里 $t$ 求导后变为常数，便于计算。
步骤 3/6
目标：应用分部积分公式求原函数
代入公式：$\int t e^{t} \, dt = t e^{t} - \int e^{t} \, dt = t e^{t} - e^{t} + C$。
公式：$\int t e^{t} \, dt = t e^{t} - e^{t} + C$
提示：不要忘记积分常数 $C$，但在定积分中会通过上下限抵消。
步骤 4/6
目标：写出定积分表达式并代入上限
定积分 $\int_{0}^{x} t e^{t} \, dt = \left[ t e^{t} - e^{t} \right]_{0}^{x}$。先代入上限 $t = x$：$x e^{x} - e^{x}$。
公式：$\left[ t e^{t} - e^{t} \right]_{0}^{x}$
提示：代入上限时注意符号，保持原表达式不变。
步骤 5/6
目标：代入下限并计算差值
代入下限 $t = 0$：$0 \cdot e^{0} - e^{0} = 0 - 1 = -1$。上限值减去下限值：$(x e^{x} - e^{x}) - (-1) = x e^{x} - e^{x} + 1$。
公式：$(x e^{x} - e^{x}) - (-1) = x e^{x} - e^{x} + 1$
提示：注意减去下限时，括号内的负号要正确处理，避免符号错误。
步骤 6/6
目标：化简最终结果
将结果整理为：$x e^{x} - e^{x} + 1 = (x - 1)e^{x} + 1$。
公式：$\int_{0}^{x} t e^{t} \, dt = (x - 1)e^{x} + 1$
提示：最终表达式可以因式分解，使形式更简洁。
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