中国矿业大学(北京) 2026年数学分析第0题
📝 题目
4．若数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收玫，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)$ 的收玫性是
A．
B．
C．
D．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析已知条件
已知数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛，这意味着该级数本身收敛，但绝对值级数 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ 发散。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ 发散
提示：条件收敛的定义：级数收敛但非绝对收敛。
步骤 2/6
目标：分解目标级数
将待判断的级数拆分为两个级数的和：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n + \frac{1}{n^2} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} (a_n + 1/n^2) = \sum a_n + \sum 1/n^2$
提示：拆分级数时需注意两个级数均收敛才能直接相加。
步骤 3/6
目标：判断第二个级数的收敛性
级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是 $p=2$ 的 $p$-级数，由于 $p=2>1$，该级数绝对收敛（从而也收敛）。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛（$p=2>1$）
提示：$p$-级数 $\sum 1/n^p$ 在 $p>1$ 时收敛，$p\leq 1$ 时发散。
步骤 4/6
目标：判断整体级数的收敛性
已知 $\sum a_n$ 收敛，$\sum 1/n^2$ 也收敛，根据收敛级数的线性性质，两个收敛级数的和仍然收敛。因此 $\sum (a_n + 1/n^2)$ 收敛。
公式：收敛级数之和收敛
提示：收敛级数的和与差仍收敛，但需注意不能随意重排。
步骤 5/6
目标：判断绝对收敛性
考虑绝对值级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left| a_n + \frac{1}{n^2} \right|$。由于 $a_n$ 可能正负交替，且 $1/n^2$ 为正，利用不等式：$|a_n| \leq \left| a_n + \frac{1}{n^2} \right| + \frac{1}{n^2}$。若 $\sum \left| a_n + \frac{1}{n^2} \right|$ 收敛，则 $\sum |a_n|$ 收敛（因为 $\sum 1/n^2$ 收敛），这与条件收敛矛盾。故绝对值级数发散。
公式：$|a_n| \leq |a_n + 1/n^2| + 1/n^2$
提示：反证法：假设绝对收敛会推出矛盾。
步骤 6/6
目标：得出结论
级数 $\sum (a_n + 1/n^2)$ 收敛，但非绝对收敛，因此它是条件收敛的。
公式：条件收敛
提示：条件收敛意味着级数本身收敛，但绝对值级数发散。
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