中国矿业大学(北京) 2026年数学分析第0题
📝 题目
5．设 $C$ 是椭圆 $x^{2}+2 y^{2}=1$ ，取逆时针方向，则 $\displaystyle \oint_{C} \frac{x d y-y d x}{x^{2}+y^{2}}=$
A． 0
B．$\pi$
C． $2 \pi$
D．$-\pi$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将曲线积分化为标准形式
原积分为 \(\oint_C \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2+y^2}\)，将其写成 \(P\,dx+Q\,dy\) 的形式：
\[\frac{x\,dy - y\,dx}{x^2+y^2} = \frac{-y}{x^2+y^2}\,dx + \frac{x}{x^2+y^2}\,dy\]
因此 \(P = \frac{-y}{x^2+y^2}\)，\(Q = \frac{x}{x^2+y^2}\)。
公式：P = -y/(x^2+y^2), Q = x/(x^2+y^2)
提示：注意符号：dy 的系数是 x/(x^2+y^2)，dx 的系数是 -y/(x^2+y^2)。
步骤 2/5
目标：尝试使用格林公式并发现奇点
计算偏导数：
\[\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{(x^2+y^2) - x\cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}\]
\[\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-(x^2+y^2) - (-y)\cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}\]
两者相等，但原点 (0,0) 处函数无定义，而椭圆 \(x^2+2y^2=1\) 包含原点，因此不能直接应用格林公式。
公式：∂Q/∂x = ∂P/∂y = (y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2
提示：格林公式要求被积函数在闭区域内部连续可微，原点是被积函数的奇点。
步骤 3/5
目标：利用极坐标简化被积表达式
令 \(x = r\cos\theta\)，\(y = r\sin\theta\)，则 \(x^2+y^2 = r^2\)。计算 \(x\,dy - y\,dx\)：
\[dy = \sin\theta\,dr + r\cos\theta\,d\theta,\quad dx = \cos\theta\,dr - r\sin\theta\,d\theta\]
代入得：
\[x\,dy - y\,dx = r\cos\theta(\sin\theta\,dr + r\cos\theta\,d\theta) - r\sin\theta(\cos\theta\,dr - r\sin\theta\,d\theta) = r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\,d\theta = r^2\,d\theta\]
因此被积表达式化为 \(\frac{r^2\,d\theta}{r^2} = d\theta\)。
公式：x dy - y dx = r^2 dθ
提示：极坐标变换是处理此类含 x dy - y dx 表达式的常用技巧。
步骤 4/5
目标：计算曲线积分
椭圆 \(x^2+2y^2=1\) 包围原点，且方向为逆时针。沿封闭曲线逆时针一周，极角 \(\theta\) 的变化量为 \(2\pi\)。因此：
\[\oint_C \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2+y^2} = \oint_C d\theta = 2\pi\]
公式：∮_C dθ = 2π
提示：注意曲线必须绕原点一周，且方向为逆时针，角度变化才是 2π。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
积分值为 \(2\pi\)，对应选项 C。
提示：若曲线方向为顺时针，则结果为 -2π。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
由以上推导，原积分值为 $2\pi$，对应选项 C。
公式：$\oint_C \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2+y^2} = 2\pi$
提示：常见错误：误以为椭圆不包围原点或忘记处理奇点，导致错误使用格林公式得到0。
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