中国矿业大学(北京) 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域有定义，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=1$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析已知条件，得出f(x)的渐近表达式
由已知极限 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = 1$，根据极限定义，当 $x \to 0$ 时，$f(x) \sim x^2$，即 $f(x) = x^2 + o(x^2)$。进而可得 $\frac{f(x)}{x} = x + o(x)$。
公式：$f(x) = x^2 + o(x^2)$
提示：注意 $o(x^2)$ 表示比 $x^2$ 高阶的无穷小，在后续计算中可忽略。
步骤 2/5
目标：识别极限类型并取对数
所求极限为 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$。由于当 $x \to 0$ 时，$1 + \frac{f(x)}{x} \to 1$，而指数 $\frac{1}{x} \to \infty$，这是 $1^\infty$ 型未定式。令 $L = \lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$，两边取自然对数得 $\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln\left(1 + \frac{f(x)}{x}\right)$。
公式：$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln\left(1 + \frac{f(x)}{x}\right)$
提示：处理 $1^\infty$ 型极限时，取对数是标准方法。
步骤 3/5
目标：利用等价无穷小简化对数项
由于 $\frac{f(x)}{x} \to 0$（因为 $f(x) \sim x^2$），当 $u \to 0$ 时，$\ln(1+u) \sim u$，因此 $\ln\left(1 + \frac{f(x)}{x}\right) \sim \frac{f(x)}{x}$。代入得 $\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2}$。
公式：$\ln\left(1 + \frac{f(x)}{x}\right) \sim \frac{f(x)}{x}$
提示：使用等价无穷小替换时，必须确保 $\frac{f(x)}{x} \to 0$，否则不能直接替换。
步骤 4/5
目标：代入已知极限求出ln L
由已知条件 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = 1$，所以 $\ln L = 1$。
公式：$\ln L = 1$
提示：注意此处直接代入已知极限值。
步骤 5/5
目标：还原原极限值
由 $\ln L = 1$ 得 $L = e^1 = e$。因此原极限为 $e$。
公式：$L = e$
提示：取对数后要记得还原为指数形式。
步骤 6/6
目标：还原得到原极限值
由 $\ln L = 1$，得 $L = e^1 = e$。
公式：L = e
提示：最终结果是一个常数，不要遗漏指数运算。
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