中国矿业大学(北京) 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．求曲面积分 $\oiint_{\Sigma} y^{2} z d x d y+x z d y d z+x^{2} y d z d x$ ，其中 $\Sigma$ 为由 $x^{2}+y^{2}=1, z=x^{2}+y^{2}$ 与 $z=0$ 所围成的封闭曲面，方向取外侧．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确曲面构成与方向
封闭曲面 $\Sigma$ 由三部分组成：底面 $z=0$（$x^2+y^2\le 1$，方向向下），侧面 $x^2+y^2=1$（$0\le z\le 1$，方向向外），顶面 $z=x^2+y^2$（$x^2+y^2\le 1$，方向向上）。积分式为 $\oiint_\Sigma y^2z\,dxdy + xz\,dydz + x^2y\,dzdx$。
提示：注意封闭曲面外侧方向：底部外法向朝下，顶部外法向朝上，侧面外法向水平向外。
步骤 2/6
目标：应用高斯公式转化为三重积分
将积分写成第二类曲面积分标准形式 $\oiint_\Sigma P\,dydz+Q\,dzdx+R\,dxdy$，其中 $P=xz$，$Q=x^2y$，$R=y^2z$。由高斯公式：
$$\oiint_\Sigma P\,dydz+Q\,dzdx+R\,dxdy = \iiint_V \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV$$
其中 $V$ 为 $\Sigma$ 所围区域。
公式：高斯公式：$\oiint_\Sigma \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV$
提示：注意对照系数时，$dxdy$ 对应 $R$，$dydz$ 对应 $P$，$dzdx$ 对应 $Q$。
步骤 3/6
目标：计算散度
计算偏导数：
$\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(xz) = z$，
$\frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2y) = x^2$，
$\frac{\partial R}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(y^2z) = y^2$。
故散度为：
$$\nabla\cdot\mathbf{F} = z + x^2 + y^2$$
公式：$\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$
提示：散度计算要仔细，每个偏导只对对应变量求导。
步骤 4/6
目标：建立三重积分并选择坐标系
区域 $V$：底面 $z=0$，顶面 $z=x^2+y^2$，侧面 $x^2+y^2=1$。积分化为：
$$\iiint_V (x^2+y^2+z)\,dV$$
采用柱坐标：$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ z=z$，$dV=r\,dr\,d\theta\,dz$，$x^2+y^2=r^2$。积分区域：$0\le\theta\le 2\pi$，$0\le r\le 1$，$0\le z\le r^2$。
公式：柱坐标变换：$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ z=z$，$dV=r\,dr\,d\theta\,dz$
提示：注意 $z$ 的上限是 $r^2$ 而不是常数，因为顶面是抛物面。
步骤 5/6
目标：计算三重积分
积分式为：
$$\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=0}^{r^2} (r^2+z)\, r\, dz\, dr\, d\theta$$
先对 $z$ 积分：
$$\int_{0}^{r^2} (r^2+z)\, dz = r^2\cdot r^2 + \frac{1}{2}(r^2)^2 = r^4 + \frac{r^4}{2} = \frac{3}{2}r^4$$
乘以 $r$ 得 $\frac{3}{2}r^5$。
再对 $r$ 积分：
$$\int_{0}^{1} \frac{3}{2}r^5\, dr = \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{4}$$
最后对 $\theta$ 积分：
$$\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4}\, d\theta = \frac{\pi}{2}$$
公式：逐次积分：$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\frac{3}{2}r^5\,dr\,d\theta = \frac{\pi}{2}$
提示：计算 $\int r^5 dr$ 时注意系数 $\frac{3}{2}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{4}$。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
由高斯公式，原曲面积分等于三重积分的结果，即 $\dfrac{\pi}{2}$。
公式：$$\oiint_\Sigma y^2z\,dxdy + xz\,dydz + x^2y\,dzdx = \frac{\pi}{2}$$
提示：检查是否遗漏负号：本题曲面外侧方向与高斯公式要求一致，无需额外调整。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
由高斯公式，原曲面积分等于三重积分的结果 $\frac{\pi}{2}$。
公式：\oiint_{\Sigma} y^2 z\,dx\,dy + xz\,dy\,dz + x^2 y\,dz\,dx = \frac{\pi}{2}
提示：检查方向是否一致，高斯公式要求曲面取外侧。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。