中国矿业大学(北京) 2026年数学分析第0题

将函数写为 $f(x,y) = \frac{x^3 y - x y^3}{x^2 + y^2}$。对 $x$ 求偏导，使用商法则：设 $u = x^3 y - x y^3$，$v = x^2 + y^2$，则 $u_x = 3x^2 y - y^3$，$v_x = 2x$。于是 $$f_x = \frac{(3x^2 y - y^3)(x^2+y^2) - (x^3 y - x y^3)(2x)}{(x^2+y^2)^2}$$ 展开并化简分子：第一项得 $3x^4 y + 2x^2 y^3 - y^5$，第二项得 $2x^4 y - 2x^2 y^3$，相减得 $x^4 y + 4x^2 y^3 - y^5$。因此 $$f_x(x,y) = \frac{x^4 y + 4x^2 y^3 - y^5}{(x^2+y^2)^2}, \quad (x,y) \neq (0,0)$$

先由定义求 $f_x(0,0)$： $$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$$ 然后求 $f_{xy}(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f_x(0,k) - f_x(0,0)}{k}$。将 $x=0$ 代入 $f_x$ 表达式得 $f_x(0,k) = \frac{0 + 0 - k^5}{(0+k^2)^2} = -k$。于是 $$f_{xy}(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{-k - 0}{k} = -1$$

对 $y$ 求偏导：$u = x^3 y - x y^3$，$v = x^2 + y^2$，则 $u_y = x^3 - 3x y^2$，$v_y = 2y$。由商法则 $$f_y = \frac{(x^3 - 3x y^2)(x^2+y^2) - (x^3 y - x y^3)(2y)}{(x^2+y^2)^2}$$ 展开第一项得 $x^5 - 2x^3 y^2 - 3x y^4$，第二项得 $2x^3 y^2 - 2x y^4$，相减得 $x^5 - 4x^3 y^2 - x y^4$。因此 $$f_y(x,y) = \frac{x^5 - 4x^3 y^2 - x y^4}{(x^2+y^2)^2}, \quad (x,y) \neq (0,0)$$

先求 $f_y(0,0)$： $$f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0$$ 再求 $f_{yx}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f_y(h,0) - f_y(0,0)}{h}$。将 $y=0$ 代入 $f_y$ 得 $f_y(h,0) = \frac{h^5 - 0 - 0}{(h^2+0)^2} = h$。于是 $$f_{yx}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{h - 0}{h} = 1$$

计算得到 $f_{xy}(0,0) = -1$，$f_{yx}(0,0) = 1$，两者不相等。这表明在原点处混合偏导与求导顺序有关，即 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在 $(0,0)$ 不连续，因此不满足 Clairaut 定理的条件（二阶偏导连续时混合偏导相等）。

根据定义： \[ f_{yx}(0,0) = \lim_{h\to 0}\frac{f_y(h,0)-f_y(0,0)}{h} \] 已知 \(f_y(0,0)=0\)，且当 \(h\neq0\) 时 \(f_y(h,0) = h\)，代入得： \[ f_{yx}(0,0) = \lim_{h\to 0}\frac{h - 0}{h} = 1 \]

计算得到两个混合偏导不相等： \[ f_{xy}(0,0) = -1, \quad f_{yx}(0,0) = 1 \] 这说明在原点处混合偏导数与求导顺序有关，函数在该点不是二阶偏导连续的。