中国矿业大学(北京) 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．函数 $\displaystyle f(x)=(x-1) x^{\frac{2}{3}}$ 的极大值是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定函数定义域
函数为 $f(x) = (x-1) x^{\frac{2}{3}}$。由于 $x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2}$ 对任意实数 $x$ 均有定义，故定义域为 $(-\infty, +\infty)$。
公式：$x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2}$
提示：注意：立方根下可以为负数，因此定义域为全体实数。
步骤 2/5
目标：求导数
将函数写为 $f(x) = x^{\frac{2}{3}}(x-1)$，应用乘法法则：
$f'(x) = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}(x-1) + x^{\frac{2}{3}} \cdot 1$。
整理得：$f'(x) = \frac{2(x-1)}{3x^{1/3}} + x^{2/3}$。
将第二项化为相同分母：$x^{2/3} = \frac{3x}{3x^{1/3}}$，
合并得：$f'(x) = \frac{2(x-1) + 3x}{3x^{1/3}} = \frac{5x - 2}{3x^{1/3}}$。
公式：$f'(x) = \frac{5x - 2}{3x^{1/3}}$
提示：注意 $x^{-1/3}$ 在 $x=0$ 处无定义，求导后需考虑分母为零的点。
步骤 3/5
目标：找出驻点和不可导点
令分子为零：$5x - 2 = 0$，得 $x = \frac{2}{5}$。
分母为零：$3x^{1/3} = 0$，得 $x = 0$（导数不存在）。
因此候选极值点为 $x=0$ 和 $x=\frac{2}{5}$。
公式：$5x-2=0 \Rightarrow x=\frac{2}{5}$；$x^{1/3}=0 \Rightarrow x=0$
提示：不可导点也可能是极值点，不要遗漏。
步骤 4/5
目标：用一阶导数符号判断极值
取测试点：
- 当 $x < 0$（如 $x=-1$）：分母 $3(-1)^{1/3} = -3$，分子 $5(-1)-2 = -7$，负负得正，$f'(x) > 0$，函数递增。
- 当 $0 < x < \frac{2}{5}$（如 $x=0.1$）：分母为正，分子 $0.5-2 = -1.5$ 为负，$f'(x) < 0$，函数递减。
- 当 $x > \frac{2}{5}$（如 $x=1$）：分母为正，分子 $5-2=3$ 为正，$f'(x) > 0$，函数递增。
因此：$x=0$ 处导数由正变负，为极大值点；$x=\frac{2}{5}$ 处导数由负变正，为极小值点。
公式：一阶导数符号变化：$+ \to -$ 为极大，$- \to +$ 为极小
提示：测试点应选在每个区间内，注意分母符号对整体符号的影响。
步骤 5/5
目标：计算极大值
极大值在 $x=0$ 处取得：
$f(0) = (0-1) \cdot 0^{\frac{2}{3}} = (-1) \cdot 0 = 0$。
公式：$f(0) = 0$
提示：直接代入即可，注意 $0^{2/3}=0$。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
函数 $f(x)=(x-1)x^{\frac{2}{3}}$ 的极大值为 $0$。
公式：极大值：$0$
提示：确认极大值点 $x=0$ 在定义域内，且计算无误。
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