中国矿业大学(北京) 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(n^{2}+1\right)^{\frac{1}{n}}-1\right] \sin \frac{n \pi}{2}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析括号部分 (n²+1)^{1/n} - 1 的极限行为
将表达式改写为指数形式：
\[
(n^2+1)^{1/n} = e^{\frac{\ln(n^2+1)}{n}}
\]
当 \(n \to \infty\) 时，
\[
\frac{\ln(n^2+1)}{n} \sim \frac{2\ln n}{n} \to 0
\]
因此 \((n^2+1)^{1/n} \to 1\)，括号部分趋于 0。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{\ln(n^2+1)}{n} = 0
提示：注意对数展开：\(\ln(n^2+1) = 2\ln n + \ln(1+1/n^2)\)，高阶项可忽略。
步骤 2/5
目标：精确估计括号部分的阶数
利用等价无穷小：当 \(x \to 0\) 时，\(e^x - 1 \sim x\)。
由于
\[
\frac{\ln(n^2+1)}{n} \sim \frac{2\ln n}{n} \to 0
\]
所以
\[
(n^2+1)^{1/n} - 1 \sim \frac{2\ln n}{n}
\]
公式：(n^2+1)^{1/n} - 1 \sim \frac{2\ln n}{n} \quad (n \to \infty)
提示：这里 \(\frac{2\ln n}{n}\) 是趋于 0 的主项，比任何 \(1/n^\alpha\) 都慢，但仍趋于 0。
步骤 3/5
目标：分析正弦部分 sin(nπ/2) 的取值规律
考虑 \(n\) 为整数时的周期性：
- 若 \(n = 2k\)（偶数），\(\sin(k\pi) = 0\)；
- 若 \(n = 4k+1\)，\(\sin(\frac{\pi}{2} + 2k\pi) = 1\)；
- 若 \(n = 4k+3\)，\(\sin(\frac{3\pi}{2} + 2k\pi) = -1\)。
因此正弦部分有界但不收敛，取值在 \(\{0, 1, -1\}\) 中循环。
公式：\sin\frac{n\pi}{2} = \begin{cases} 0, & n \text{为偶数} \\ 1, & n=4k+1 \\ -1, & n=4k+3 \end{cases}
提示：正弦函数在整数点上的取值只有三个可能值，这是处理的关键。
步骤 4/5
目标：考虑不同子列的极限
由于正弦部分不收敛，需分别考察所有可能的子列：
- 子列 \(n=2k\)：表达式为 \(0\)，极限为 0；
- 子列 \(n=4k+1\)：表达式为 \((n^2+1)^{1/n} - 1 \sim \frac{2\ln n}{n} \to 0\)；
- 子列 \(n=4k+3\)：表达式为 \(-[(n^2+1)^{1/n} - 1] \to 0\)。
所有子列极限均为 0。
公式：\lim_{k\to\infty} \left[( (4k+1)^2+1)^{1/(4k+1)} - 1\right] = 0
提示：必须验证所有可能的子列，因为原序列不单调，但这里所有子列都趋于 0。
步骤 5/5
目标：综合得出原极限
由于括号部分趋于 0，正弦部分有界，且所有子列极限均为 0，根据极限的归结原则，原极限存在且为 0。
公式：\lim_{n\to\infty} \left[\left(n^{2}+1\right)^{\frac{1}{n}}-1\right] \sin \frac{n \pi}{2} = 0
提示：不要误以为有界乘以无穷小一定得 0，这里正弦不收敛，但通过子列分析可确认极限为 0。
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