中国矿业大学(北京) 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．若函数 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的连续函数，若 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的的 Fourier 级数展开式为
$\displaystyle f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)$ ，则 $\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(x) d x=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和待求表达式
已知 $f(x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的连续函数，在 $[-\pi, \pi]$ 上的 Fourier 级数展开式为 $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos nx + b_n \sin nx)$，其中 Fourier 系数为 $a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$，$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx) dx$，$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx) dx$。需要计算 $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) dx$。
公式：Fourier 系数公式
提示：注意 $a_0$ 的定义中分母为 $\pi$，且常数项为 $\frac{a_0}{2}$。
步骤 2/5
目标：将 $f(x)$ 的 Fourier 级数代入积分并展开平方
将 $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos nx + b_n \sin nx)$ 代入积分 $\int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) dx$，得到 $\int_{-\pi}^{\pi} \left[ \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos nx + b_n \sin nx) \right]^2 dx$。展开平方后，会出现常数项平方、各三角函数的平方项以及交叉乘积项。
公式：$\left(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\right)^2$
提示：展开时注意无穷级数的平方需要谨慎处理，但利用正交性可简化。
步骤 3/5
目标：利用三角函数的正交性化简交叉项
在区间 $[-\pi, \pi]$ 上，三角函数具有正交性：$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx)\cos(mx) dx = \pi \delta_{nm}$（$n=m>0$），$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx)\sin(mx) dx = \pi \delta_{nm}$，$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx)\sin(mx) dx = 0$，且常数项与任何正频率三角函数的乘积积分为零。因此，所有不同频率的交叉项以及常数与三角函数的交叉项积分均为零。
公式：$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx)\cos(mx) dx = \pi \delta_{nm}$，$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx)\sin(mx) dx = \pi \delta_{nm}$
提示：注意 $\delta_{nm}$ 是 Kronecker 符号，仅当 $n=m$ 时为 1，否则为 0。
步骤 4/5
目标：计算非零项积分
展开后非零项包括：常数项平方 $\frac{a_0^2}{4}$ 的积分，以及每个 $n$ 对应的 $a_n^2 \cos^2(nx)$ 和 $b_n^2 \sin^2(nx)$ 的积分。计算得：$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{a_0^2}{4} dx = \frac{a_0^2}{2} \pi$；$\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(nx) dx = \pi$，$\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2(nx) dx = \pi$。因此 $\int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) dx = \frac{a_0^2}{2} \pi + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2) \pi$。
公式：$\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(nx) dx = \pi$，$\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2(nx) dx = \pi$
提示：注意 $\cos^2$ 和 $\sin^2$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上的积分均为 $\pi$，与 $n$ 无关。
步骤 5/5
目标：两边除以 $\pi$ 得到最终结果
将上一步得到的等式两边同时除以 $\pi$，即得 $\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2)$。这就是 Parseval 等式在 $[-\pi,\pi]$ 上的形式。
公式：$\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2)$
提示：此结果与 Fourier 系数的平方和直接相关，是能量守恒的体现。
步骤 6/6
目标：合并结果得到 Parseval 恒等式
将所有项相加，得到：
$$\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) \, dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2)$$
这就是傅里叶级数中的 Parseval 恒等式。
公式：\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2)
提示：该等式表明函数平方的平均值等于傅里叶系数平方和，是能量守恒的体现。
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