中国矿业大学(北京) 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．（15 分）证明： $\operatorname{sgn}(x)=\left\{\begin{array}{c}-1, x<0 \\ 0, x=0 \\ 1, x>0\end{array}\right.$ 在 $[-1,1]$ 上黎曼可积，但在 $[-1,1]$ 上没有原函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明符号函数在[-1,1]上有界且只有有限个间断点
符号函数在区间[-1,1]上的取值仅为-1,0,1，因此显然有界。其唯一的间断点是$x=0$，这是一个跳跃间断点，属于第一类间断点。间断点个数为有限个（1个）。
公式：\operatorname{sgn}(x)=\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\1,&x>0\end{cases}
提示：注意间断点只有x=0这一点，不要遗漏x=0处的定义。
步骤 2/6
目标：应用黎曼可积的勒贝格准则证明可积性
根据黎曼可积的勒贝格准则：闭区间上的有界函数黎曼可积当且仅当其所有间断点构成的集合的勒贝格测度为零。这里间断点集为$\{0\}$，是单点集，测度为0。因此符号函数在$[-1,1]$上黎曼可积。
公式：m(\{0\})=0
提示：勒贝格准则是一个充分必要条件，但此处只需说明有界且间断点集测度为0即可。
步骤 3/6
目标：用定义验证可积性（补充说明）
对任意划分$P$，考虑包含0的小区间$[x_{k-1},x_k]$，在该小区间上振幅$\omega_k=2$，其余区间振幅为0。则上和与下和的差$U(P,f)-L(P,f)=2\cdot\Delta x_k$。当划分足够细时，$\Delta x_k$可以任意小，因此差可小于任意正数，故可积。
公式：U(P,f)-L(P,f)=2\Delta x_k
提示：注意振幅的计算：在包含0的区间上，上确界为1，下确界为-1，振幅为2。
步骤 4/6
目标：假设存在原函数并利用导数性质推导矛盾
假设存在可导函数$F(x)$使得$F'(x)=\operatorname{sgn}(x)$在$[-1,1]$上成立。根据达布定理（导数的介值性质），任何导函数在区间上具有介值性，即若$f'(a)\neq f'(b)$，则$f'$必取遍$f'(a)$与$f'(b)$之间的所有值。但$\operatorname{sgn}(x)$在$x=0$处左极限为-1，右极限为1，而在0的任意邻域内，$\operatorname{sgn}(x)$只取-1,0,1，不取介于-1和1之间的其他值（如0.5），与达布定理矛盾。
公式：\lim_{x\to0^-}\operatorname{sgn}(x)=-1,\quad \lim_{x\to0^+}\operatorname{sgn}(x)=1
提示：达布定理是证明导函数不能有跳跃间断点的关键。
步骤 5/6
目标：通过直接构造原函数表达式证明不可导
若$F'(x)=\operatorname{sgn}(x)$，则在$x<0$时，$F(x)=-x+C_1$；在$x>0$时，$F(x)=x+C_2$。由连续性，$\lim_{x\to0^-}F(x)=C_1$，$\lim_{x\to0^+}F(x)=C_2$，故$C_1=C_2=C$。但在$x=0$处，左导数为$\lim_{x\to0^-}\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^-}\frac{-x+C-C}{x}=-1$，右导数为$\lim_{x\to0^+}\frac{x+C-C}{x}=1$，左右导数不相等，故$F$在$x=0$处不可导，矛盾。
公式：F'_-(0)=-1,\quad F'_+(0)=1
提示：注意原函数必须在整个区间上可导，包括端点，但这里主要考虑内点x=0。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上，符号函数在$[-1,1]$上黎曼可积（有界且只有一个间断点，满足勒贝格准则），但在该区间上没有原函数（因为其跳跃间断点违反了导数的达布性质，且直接构造也导致不可导）。
提示：区分可积性与原函数存在性：有第一类间断点的函数仍可积，但一定没有原函数。
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