中国矿业大学(北京) 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．（15分）已知 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，证明：$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有最大值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明函数在闭区间上有上界
采用反证法。假设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上无上界，则对每个正整数 $n$，存在 $x_n \in [a,b]$，使得 $f(x_n) > n$。数列 $\{x_n\}$ 有界，由 Bolzano-Weierstrass 定理，存在收敛子列 $\{x_{n_k}\}$，设其极限为 $x_0 \in [a,b]$。由于 $f$ 在 $x_0$ 处连续，有 $\lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = f(x_0)$。但由构造 $f(x_{n_k}) > n_k \to +\infty$，矛盾。故 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必有上界。
公式：\lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = f(x_0) \quad \text{且} \quad f(x_{n_k}) > n_k \to +\infty
提示：注意反证法假设的表述，以及子列极限的存在性依赖于闭区间上的有界性。
步骤 2/4
目标：定义上确界并构造逼近点列
设 $M = \sup_{x \in [a,b]} f(x)$，由第一步知 $M$ 为有限实数。根据上确界的定义，对任意正整数 $n$，存在 $y_n \in [a,b]$，使得 $M - \frac{1}{n} < f(y_n) \le M$。这样构造的点列 $\{y_n\}$ 满足 $f(y_n) \to M$。
公式：M = \sup_{x \in [a,b]} f(x), \quad M - \frac{1}{n} < f(y_n) \le M
提示：上确界定义中的不等式要写准确，确保 $f(y_n)$ 无限接近 $M$。
步骤 3/4
目标：利用连续性证明上确界可达
数列 $\{y_n\}$ 有界，故存在收敛子列 $\{y_{n_k}\}$，设其极限为 $y_0 \in [a,b]$。由 $f$ 的连续性，有 $f(y_0) = \lim_{k \to \infty} f(y_{n_k}) = M$。因此最大值在 $y_0$ 处取到，即对任意 $x \in [a,b]$，有 $f(x) \le f(y_0) = M$。
公式：f(y_0) = \lim_{k \to \infty} f(y_{n_k}) = M
提示：子列的极限点仍在闭区间内，这是闭区间紧致性的体现。
步骤 4/4
目标：总结结论
综上，闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数 $f(x)$ 必存在最大值点 $x_0$（即 $y_0$），使得 $f(x_0) = \sup_{x \in [a,b]} f(x)$，且对所有 $x \in [a,b]$ 有 $f(x) \le f(x_0)$。同理可证最小值也存在。
公式：\exists x_0 \in [a,b], \forall x \in [a,b]: f(x) \le f(x_0)
提示：注意最值定理包括最大值和最小值，本题只证最大值，最小值证明类似。
步骤 5/7
目标：定义上确界并构造逼近数列
令 $M = \sup\{ f(x) \mid x \in [a,b] \}$。由第一步知 $M$ 是有限实数。由上确界定义，存在数列 $\{y_n\} \subset [a,b]$，使得 $\lim_{n\to\infty} f(y_n) = M$。
公式：M = \sup\{ f(x) \mid x \in [a,b] \}
提示：上确界是上界的最小者，存在数列逼近它。
步骤 6/7
目标：再次利用Bolzano-Weierstrass定理和连续性得到最大值点
数列 $\{y_n\}$ 有界，故存在子列 $\{y_{n_k}\}$ 收敛到某点 $c \in [a,b]$。由连续性，$f(c) = \lim_{k\to\infty} f(y_{n_k}) = M$。因此 $f(c)=M$，即最大值在点 $c$ 处取到。
公式：f(c) = \lim_{k\to\infty} f(y_{n_k}) = M
提示：子列极限与函数值极限一致，确保上确界可达。
步骤 7/7
目标：总结结论
已证明：若 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上存在最大值。同理可证最小值存在。
提示：本题只要求最大值，但最小值证明类似。
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