中国矿业大学(北京) 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．（15 分）判断 $\alpha$ 取何值时，函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x(\ln n)^{\alpha}}{n^{x}}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收玫．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确一致收敛的条件
函数列 $\{f_n(x)\}$ 在区间 $[0, +\infty)$ 上一致收敛于极限函数 $f(x)$ 的充要条件是：
$$\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in [0,+\infty)} |f_n(x)-f(x)| = 0.$$
公式：$$\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in [0,+\infty)} |f_n(x)-f(x)| = 0$$
提示：注意一致收敛与逐点收敛的区别：一致收敛要求上确界趋于0，而不仅仅是每点收敛。
步骤 2/6
目标：求逐点极限函数
对于固定的 $x \ge 0$，考虑 $n \to \infty$ 时 $f_n(x) = \frac{x(\ln n)^\alpha}{n^x}$ 的极限：
- 若 $x=0$，则 $f_n(0)=0$，极限为 $0$。
- 若 $x>0$，由于指数函数 $n^x$ 增长快于任何对数幂次，有 $\frac{(\ln n)^\alpha}{n^x} \to 0$，因此 $f_n(x) \to 0$。
故逐点极限函数为 $f(x)=0$，$\forall x \ge 0$。
公式：$$\lim_{n\to\infty} f_n(x) = 0, \quad \forall x \ge 0$$
提示：当 $x>0$ 时，$n^x$ 是指数增长，$\ln n$ 是对数增长，指数增长占主导，因此极限为0。
步骤 3/6
目标：分析上确界的表达式并求最大值点
固定 $n$，考虑函数 $g_n(x) = \frac{x (\ln n)^\alpha}{n^x}$，$x \ge 0$。它在 $x=0$ 处为0，当 $x \to +\infty$ 时趋于0，因此中间某点达到最大值。求导：
$$g_n'(x) = (\ln n)^\alpha \cdot \frac{1 \cdot n^x - x n^x \ln n}{n^{2x}} = (\ln n)^\alpha \cdot \frac{1 - x \ln n}{n^x}.$$
令导数为零得 $1 - x \ln n = 0$，即 $x = \frac{1}{\ln n}$，此为唯一极大值点。
公式：$$g_n'(x) = (\ln n)^\alpha \cdot \frac{1 - x \ln n}{n^x}, \quad x = \frac{1}{\ln n}$$
提示：求导时注意 $n^x$ 的导数为 $n^x \ln n$，且 $\ln n$ 是常数。
步骤 4/6
目标：计算最大值
将 $x = \frac{1}{\ln n}$ 代入 $g_n(x)$：
$$g_n\left(\frac{1}{\ln n}\right) = \frac{\frac{1}{\ln n} (\ln n)^\alpha}{n^{1/\ln n}}.$$
由于 $n^{1/\ln n} = e^{\frac{\ln n}{\ln n}} = e^1 = e$，所以最大值简化为：
$$\sup_{x \ge 0} |f_n(x)-0| = \frac{(\ln n)^{\alpha-1}}{e}.$$
公式：$$\sup_{x \ge 0} |f_n(x)-0| = \frac{(\ln n)^{\alpha-1}}{e}$$
提示：注意 $n^{1/\ln n} = e$ 是一个关键简化，避免复杂计算。
步骤 5/6
目标：判断一致收敛的条件
一致收敛要求 $\lim_{n\to\infty} \frac{(\ln n)^{\alpha-1}}{e} = 0$。
- 当 $\alpha-1 < 0$ 即 $\alpha < 1$ 时，$(\ln n)^{\alpha-1} \to 0$，满足条件。
- 当 $\alpha = 1$ 时，值为常数 $\frac{1}{e} \neq 0$，不一致收敛。
- 当 $\alpha > 1$ 时，$(\ln n)^{\alpha-1} \to +\infty$，不一致收敛。
因此一致收敛当且仅当 $\alpha < 1$。
公式：$$\lim_{n\to\infty} \frac{(\ln n)^{\alpha-1}}{e} = 0 \iff \alpha < 1$$
提示：注意 $\ln n \to +\infty$，其幂次的正负决定极限行为：负幂次趋于0，正幂次趋于无穷。
步骤 6/6
目标：边界检查与结论
区间包括 $x=0$，但最大值点 $x = 1/\ln n$ 对足够大的 $n$ 为正且属于区间，因此上述分析有效。在 $x=0$ 附近函数值很小，不影响上确界。
最终结论：函数列在 $[0, +\infty)$ 上一致收敛当且仅当 $\alpha < 1$。
公式：$$\boxed{\alpha < 1}$$
提示：检查边界时注意最大值点是否在区间内，这里 $1/\ln n > 0$ 对 $n \ge 2$ 成立，不影响结果。
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