中国矿业大学(北京) 2026年数学分析第0题
📝 题目
4．（15 分）（1）（5 分）设数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\},\left\{c_{n}\right\}$ 满足对任意 $n \geq 1$ ，都有 $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ ，若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$与 $\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 均收玫，判断 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 是否收玫；
（2）（10 分）对于 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{p+\frac{1}{n}}}$ ，根据 $p$ 的值讨论该级数何时条件收敛？何时绝对收敛？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断级数 ∑b_n 的收敛性
已知对任意 n ≥ 1，有 a_n ≤ b_n ≤ c_n，且 ∑a_n 与 ∑c_n 均收敛。由收敛级数的性质，∑(c_n - a_n) 收敛，且 c_n - a_n ≥ 0。由于 0 ≤ b_n - a_n ≤ c_n - a_n，由正项级数的比较判别法，∑(b_n - a_n) 收敛。又 ∑b_n = ∑a_n + ∑(b_n - a_n)，两个收敛级数的和仍收敛，故 ∑b_n 必收敛。
公式：0 \leq b_n - a_n \leq c_n - a_n, \quad \sum b_n = \sum a_n + \sum (b_n - a_n)
提示：注意比较判别法仅适用于正项级数，这里 b_n - a_n ≥ 0 是关键。
步骤 2/5
目标：分析原级数的绝对收敛性
考虑绝对值级数 ∑ 1 / n^{p + 1/n}。由于 n^{p + 1/n} = n^p · n^{1/n}，且 n^{1/n} → 1 (n→∞)，故通项与 1/n^p 等价。利用极限比较判别法：lim_{n→∞} (1/n^{p+1/n}) / (1/n^p) = lim_{n→∞} n^{-1/n} = 1，因此绝对值级数的收敛性与 ∑ 1/n^p 相同。故当 p > 1 时绝对收敛；当 p ≤ 1 时发散。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{1/n^{p+1/n}}{1/n^p} = \lim_{n\to\infty} n^{-1/n} = 1
提示：等价无穷小比较时，需确认极限存在且非零，这里极限为1，故收敛性一致。
步骤 3/5
目标：分析条件收敛性：验证莱布尼茨判别法条件
原级数为交错级数 ∑ (-1)^{n-1} u_n，其中 u_n = 1 / n^{p+1/n}。需验证：(1) u_n 单调递减；(2) u_n → 0。取对数 ln u_n = -(p + 1/n) ln n，当 n 充分大时，p+1/n 变化很小，ln n 递增，故 u_n 最终递减（可对连续函数求导证明）。对于趋于零：当 p > 0 时，n^{p+1/n} → ∞，故 u_n → 0；当 p = 0 时，u_n = 1/n^{1/n} → 1，不趋于0；当 p < 0 时，n^{p+1/n} → 0，通项不趋于0。因此莱布尼茨判别法要求 p > 0。
公式：u_n = \frac{1}{n^{p+1/n}}, \quad \lim_{n\to\infty} u_n = 0 \iff p > 0
提示：莱布尼茨判别法要求通项单调递减且趋于0，缺一不可。
步骤 4/5
目标：综合条件收敛的范围
由绝对收敛性分析，p > 1 时绝对收敛；由莱布尼茨判别法，p > 0 时可能条件收敛，但需排除绝对收敛的情况，即 p ≤ 1。故条件收敛的范围为 0 < p ≤ 1。边界情况：p = 1 时，绝对值级数发散（调和级数），但交错项递减趋于0，条件收敛；p = 0 时通项不趋于0，发散；p ≤ 0 时通项不趋于0，发散。
公式：0 < p \leq 1 \text{ 时条件收敛}, \quad p > 1 \text{ 时绝对收敛}, \quad p \leq 0 \text{ 时发散}
提示：注意 p=0 是发散点，不要误判为条件收敛。
步骤 5/5
目标：总结最终结论
（1）∑b_n 必收敛。（2）级数 ∑ (-1)^{n-1} / n^{p+1/n} 当 p > 1 时绝对收敛；当 0 < p ≤ 1 时条件收敛；当 p ≤ 0 时发散。
公式：\text{绝对收敛: } p>1; \quad \text{条件收敛: } 0
提示：注意条件收敛要求 p>0 且 p≤1，p=0 是发散边界。
步骤 6/6
目标：总结第(2)问结论
综合以上：绝对收敛当p>1；条件收敛当0
提示：注意p=0是临界点，通项不趋于0导致发散。
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