中国矿业大学(北京) 2026年数学分析第0题
📝 题目
四．求曲面积分
$$
\iint_{\Sigma} \frac{x^{2} y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{2}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+4 y^{2}+z^{2}}
$$
其中 $\displaystyle \Sigma: 4 x^{2}+4 y^{2}+z^{2}=4, z \geq 0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：化简被积函数
曲面方程为 $4x^2+4y^2+z^2=4$，因此在曲面上分母 $4x^2+4y^2+z^2=4$ 为常数，可提到积分号外。原积分化为：
$$
\iint_{\Sigma} \frac{x^2 y \, dy \, dz + y^2 z \, dz \, dx + (z^2+1) \, dx \, dy}{4} = \frac14 \iint_{\Sigma} x^2 y \, dy \, dz + y^2 z \, dz \, dx + (z^2+1) \, dx \, dy
$$
公式：4x^2+4y^2+z^2=4
提示：注意分母在曲面上为常数，这是简化积分的关键步骤。
步骤 2/7
目标：补面并应用高斯公式
曲面 $\Sigma$ 是上半椭球面（$z \ge 0$），不封闭。补上底面 $S_0: z=0, 4x^2+4y^2 \le 4$，方向取向下（构成封闭曲面外侧）。令 $P=x^2y, Q=y^2z, R=z^2+1$，由高斯公式：
$$
\iint_{\Sigma \cup S_0} P \, dy \, dz + Q \, dz \, dx + R \, dx \, dy = \iiint_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV
$$
公式：\iint_{\Sigma \cup S_0} = \iiint_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV
提示：补面时注意方向，底面必须向下才能与上半椭球面的外侧法向一致。
步骤 3/7
目标：计算散度
计算各偏导数：
$$
\frac{\partial P}{\partial x} = 2xy, \quad \frac{\partial Q}{\partial y} = 2yz, \quad \frac{\partial R}{\partial z} = 2z
$$
散度为：
$$
2xy + 2yz + 2z = 2(xy + yz + z)
$$
公式：\text{div} \mathbf{F} = 2(xy + yz + z)
提示：散度计算要仔细，避免漏项。
步骤 4/7
目标：利用对称性简化三重积分
区域 $V$ 是椭球体 $4x^2+4y^2+z^2 \le 4$ 的上半部分（$z \ge 0$）。由于 $xy$ 和 $yz$ 关于 $x$ 或 $y$ 是奇函数，且区域对称，有：
$$
\iiint_V xy \, dV = 0, \quad \iiint_V yz \, dV = 0
$$
因此三重积分简化为：
$$
\iiint_V 2(xy + yz + z) \, dV = \iiint_V 2z \, dV
$$
公式：\iiint_V 2z \, dV
提示：对称性可大幅简化积分，注意判断奇偶性。
步骤 5/7
目标：计算三重积分 $\iiint_V z \, dV$
采用广义球坐标变换：令 $x = \rho \sin\phi \cos\theta, y = \rho \sin\phi \sin\theta, z = 2\rho \cos\phi$，雅可比行列式 $|J| = 2\rho^2 \sin\phi$。积分区域：$\rho: 0 \to 1, \phi: 0 \to \pi/2, \theta: 0 \to 2\pi$。则：
$$
\iiint_V z \, dV = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi/2} d\phi \int_0^1 (2\rho \cos\phi) \cdot (2\rho^2 \sin\phi) \, d\rho = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi/2} d\phi \int_0^1 4\rho^3 \cos\phi \sin\phi \, d\rho
$$
先对 $\rho$ 积分：$\int_0^1 4\rho^3 \, d\rho = 1$，得 $\cos\phi \sin\phi$；再对 $\phi$ 积分：$\int_0^{\pi/2} \cos\phi \sin\phi \, d\phi = \frac12$；最后对 $\theta$ 积分：$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$。结果为 $\iiint_V z \, dV = \pi$，故 $\iiint_V 2z \, dV = 2\pi$。
公式：\iiint_V 2z \, dV = 2\pi
提示：广义球坐标变换时注意椭球半轴比例，雅可比行列式易错。
步骤 6/7
目标：计算底面积分并减去
高斯公式给出封闭曲面外侧通量：$\iint_{\Sigma \cup S_0} = 2\pi$。底面 $S_0: z=0$，法向向下，$dxdy$ 项取负。在底面上，$z=0$，$dy\,dz$ 和 $dz\,dx$ 项为零，$R\,dx\,dy = (z^2+1)\,dx\,dy = dx\,dy$。因此：
$$
\iint_{S_0} = -\iint_{D} 1 \, dx \, dy
$$
其中 $D: 4x^2+4y^2 \le 4$ 是半径为1的圆盘，面积为 $\pi$，故 $\iint_{S_0} = -\pi$。
公式：\iint_{S_0} = -\pi
提示：底面方向向下导致符号为负，注意区分。
步骤 7/7
目标：得到上半椭球面的积分并乘以系数
由 $\iint_{\Sigma} + \iint_{S_0} = 2\pi$ 得：
$$
\iint_{\Sigma} = 2\pi - (-\pi) = 3\pi
$$
原积分有系数 $\frac14$，因此：
$$
\text{原积分} = \frac14 \times 3\pi = \frac{3\pi}{4}
$$
公式：\frac{3\pi}{4}
提示：最后不要忘记乘以之前提出的常数因子。
步骤 8/8
目标：乘以分母的常数因子得到最终答案
原积分有因子 $\frac14$，因此：
$$
\iint_{\Sigma} \frac{x^{2} y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{2}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{4x^2+4y^2+z^2} = \frac14 \times 3\pi = \frac{3\pi}{4}
$$
公式：\boxed{\frac{3\pi}{4}}
提示：最后一步不要忘记除以4。
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