中国科学技术大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}+k}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析求和通项的形式
求和式为 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}+k}$，其中 $k$ 从 $1$ 到 $n$，分母 $n^2+k$ 中 $n^2$ 是主要部分，$k$ 相对于 $n^2$ 较小。
公式：\frac{1}{n^2+k}
提示：注意分母中 $n^2$ 是主导项，$k$ 的最大值为 $n$，因此分母的范围是 $n^2+1$ 到 $n^2+n$。
步骤 2/5
目标：利用放缩法建立不等式
由于分母越大分数越小，对于每个 $k=1,\dots,n$，有 $\frac{1}{n^2+n} \le \frac{1}{n^2+k} \le \frac{1}{n^2+1}$。对 $k$ 求和得到：$\frac{n}{n^2+n} \le \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^2+k} \le \frac{n}{n^2+1}$。
公式：\frac{n}{n^2+n} \le \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^2+k} \le \frac{n}{n^2+1}
提示：放缩时注意不等号方向：分母越大，分数值越小。
步骤 3/5
目标：计算左边放缩式的极限
左边为 $\frac{n}{n^2+n} = \frac{n}{n(n+1)} = \frac{1}{n+1}$，当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n+1} \to 0$。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2+n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0
提示：化简时注意分子分母同时除以 $n$ 得到简单形式。
步骤 4/5
目标：计算右边放缩式的极限
右边为 $\frac{n}{n^2+1}$，当 $n \to \infty$ 时，$\frac{n}{n^2+1} \sim \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} \to 0$。更严格地，$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2+1} = 0$。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2+1} = 0
提示：可以用分子分母同除以 $n$ 的方法：$\frac{1}{n+1/n} \to 0$。
步骤 5/5
目标：应用夹逼定理得出极限
由于 $\frac{n}{n^2+n} \le \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^2+k} \le \frac{n}{n^2+1}$，且左右两边的极限均为 $0$，由夹逼定理知原极限也为 $0$。
公式：\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^2+k} = 0
提示：夹逼定理要求不等式两端极限相等，这里两端极限都是0，因此中间极限为0。
步骤 6/6
目标：应用夹逼定理得出结果
由夹逼定理，若 $a_n \le S_n \le b_n$ 且 $\lim a_n = \lim b_n = 0$，则 $\lim S_n = 0$。因此原极限为 0。
公式：\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^2+k} = 0
提示：夹逼定理要求两边极限相等，这里两边都趋于 0，因此中间也趋于 0。
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