中国科学技术大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．设 $\displaystyle x_{0} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，且 $x_{n}=\sin x_{n-1}(n=1,2, \cdots)$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}, \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}^{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定数列的单调性和有界性，证明极限存在
已知 $x_0 \in (0, \frac{\pi}{2})$，且 $x_n = \sin x_{n-1}$。对于任意 $x_{n-1} \in (0, \frac{\pi}{2})$，有 $\sin x_{n-1} \in (0,1) \subset (0, \frac{\pi}{2})$，因此所有 $x_n$ 均保持在 $(0, \frac{\pi}{2})$ 内。又因为当 $x > 0$ 时，$\sin x < x$，所以 $x_n = \sin x_{n-1} < x_{n-1}$，数列严格递减。数列有下界 $0$，由单调有界定理，极限存在。
公式：$x_n = \sin x_{n-1} < x_{n-1}$
提示：注意 $\sin x < x$ 在 $x>0$ 时成立，这是证明单调递减的关键。
步骤 2/4
目标：求解数列的极限值
设 $\lim_{n \to \infty} x_n = L$。对递推式 $x_n = \sin x_{n-1}$ 两边取极限，得 $L = \sin L$。在区间 $[0, \frac{\pi}{2})$ 内，方程 $L = \sin L$ 的唯一解是 $L = 0$。因此 $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$。
公式：$L = \sin L \Rightarrow L = 0$
提示：注意极限点必须满足方程，且需结合定义域排除非零解。
步骤 3/4
目标：对递推关系进行泰勒展开，建立 $\frac{1}{x_{n+1}^2}$ 与 $\frac{1}{x_n^2}$ 的递推关系
当 $x_n \to 0$ 时，使用泰勒展开：$\sin x_n = x_n - \frac{x_n^3}{6} + O(x_n^5)$。于是 $x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3}{6} + O(x_n^5)$。取倒数平方：
$$
\frac{1}{x_{n+1}^2} = \frac{1}{x_n^2 \left(1 - \frac{x_n^2}{6} + O(x_n^4)\right)^2}
$$
利用展开 $(1-u)^{-2} = 1 + 2u + O(u^2)$，其中 $u = \frac{x_n^2}{6} + O(x_n^4)$，得
$$
\frac{1}{x_{n+1}^2} = \frac{1}{x_n^2} \left(1 + \frac{x_n^2}{3} + O(x_n^4)\right)
$$
因此
$$
\frac{1}{x_{n+1}^2} - \frac{1}{x_n^2} = \frac{1}{3} + O(x_n^2)
$$
公式：$\frac{1}{x_{n+1}^2} - \frac{1}{x_n^2} = \frac{1}{3} + O(x_n^2)$
提示：泰勒展开时注意保留到 $x_n^3$ 项，因为平方后会产生 $x_n^2$ 项；$O(x_n^4)$ 在后续展开中贡献高阶小量。
步骤 4/4
目标：利用Stolz定理求 $\lim_{n \to \infty} n x_n^2$
考虑极限 $\lim_{n \to \infty} n x_n^2 = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{1/x_n^2}$。令 $a_n = n$，$b_n = 1/x_n^2$，则 $b_n \to +\infty$，满足Stolz定理条件。于是
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{n}{1/x_n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)-n}{1/x_{n+1}^2 - 1/x_n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{3} + O(x_n^2)} = \frac{1}{1/3} = 3
$$
因此 $\lim_{n \to \infty} n x_n^2 = 3$。
公式：$\lim_{n \to \infty} n x_n^2 = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1/x_{n+1}^2 - 1/x_n^2} = 3$
提示：使用Stolz定理时，需验证分母单调递增趋于无穷；$O(x_n^2)$ 项在 $n \to \infty$ 时趋于0，不影响极限。
步骤 5/5
目标：应用Stolz定理求 $\lim_{n\to\infty} n x_n^2$
考虑 $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n x_n^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{1/x_n^2}{n}$。由Stolz定理，$\lim_{n\to\infty} \frac{1/x_n^2}{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1/x_n^2 - 1/x_{n-1}^2}{n - (n-1)} = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{x_n^2} - \frac{1}{x_{n-1}^2}\right) = \frac{1}{3}$，故 $\lim_{n\to\infty} n x_n^2 = 3$。
公式：$\lim_{n\to\infty} n x_n^2 = 3$
提示：Stolz定理适用于 $\frac{\infty}{\infty}$ 型极限，这里 $1/x_n^2 \to \infty$，分母 $n \to \infty$。
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