中国科学技术大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．设 $\displaystyle f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}$ ，求 $f^{(n)}(0)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简函数形式
利用对数性质，将 $f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}$ 分解为 $f(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x)$。注意到 $f(-x)=\ln(1-x)-\ln(1+x)=-f(x)$，因此 $f(x)$ 是奇函数，其泰勒展开只含奇次项，故当 $n$ 为偶数时 $f^{(n)}(0)=0$。
公式：f(x)=\ln(1+x)-\ln(1-x)
提示：奇函数的泰勒展开只有奇次幂，偶次项系数为零，这可以简化后续计算。
步骤 2/4
目标：展开为幂级数
利用已知展开式：$\ln(1+x)=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}$，$\ln(1-x)=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k}$，代入得 $f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k}$。合并同类项：当 $k$ 为奇数时，$(-1)^{k-1}=1$，系数为 $\frac{2}{k}$；当 $k$ 为偶数时，$(-1)^{k-1}=-1$，系数为 $0$。因此 $f(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{2}{2m+1}x^{2m+1}$。
公式：f(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{2}{2m+1}x^{2m+1}
提示：注意 $\ln(1-x)$ 展开的符号，以及合并时奇偶项系数的差异。
步骤 3/4
目标：由幂级数系数求导数值
幂级数的一般形式为 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$。对比 $f(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{2}{2m+1}x^{2m+1}$，当 $n=2m+1$ 为奇数时，有 $\frac{f^{(2m+1)}(0)}{(2m+1)!}=\frac{2}{2m+1}$，解得 $f^{(2m+1)}(0)=\frac{2}{2m+1}\cdot(2m+1)!=2\cdot(2m)!$。当 $n$ 为偶数时，$f^{(n)}(0)=0$。
公式：f^{(2m+1)}(0)=2\cdot(2m)!
提示：注意幂级数系数与导数的关系：$a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$，不要混淆。
步骤 4/4
目标：写出最终答案
将结果用分段函数表示：当 $n$ 为偶数时，$f^{(n)}(0)=0$；当 $n$ 为奇数时，令 $n=2m+1$，则 $(2m)!=(n-1)!$，所以 $f^{(n)}(0)=2\cdot(n-1)!$。综合得：
$$
f^{(n)}(0)=
\begin{cases}
0, & n \text{为偶数},\\
2\,(n-1)!, & n \text{为奇数}.
\end{cases}
$$
公式：f^{(n)}(0)=\begin{cases}0, & n\text{为偶数}\\2\,(n-1)!, & n\text{为奇数}\end{cases}
提示：注意 $n$ 为奇数时，$n-1$ 是偶数，$(n-1)!$ 是整数阶乘，结果简洁。
步骤 5/5
目标：写出最终结论
综合以上结果，得到 $f^{(n)}(0)$ 的表达式：
$$f^{(n)}(0)=\begin{cases}
0, & n\text{为偶数}\\
2\cdot (n-1)!, & n\text{为奇数}
\end{cases}$$
其中 $n$ 为正整数。
公式：$f^{(n)}(0)=\begin{cases}0, & n\text{为偶数}\\2\cdot (n-1)!, & n\text{为奇数}\end{cases}$
提示：当 $n=0$ 时，$f(0)=\ln1=0$，也符合偶数情况（$0$ 视为偶数）。
步骤 6/6
目标：总结公式
将结果写成分段形式：
\[ f^{(n)}(0) = \begin{cases} 0, & n \text{为偶数} \\ 2 \cdot (n-1)!, & n \text{为奇数} \end{cases} \]
公式：\boxed{f^{(n)}(0)=\begin{cases} 0, & n \text{为偶数}\\ 2\cdot (n-1)!, & n \text{为奇数} \end{cases}}
提示：当 n=1 时，2·0! = 2，与直接求导 f'(0)=2 一致，可验证。
步骤 7/7
目标：写出最终结果
综合奇偶情况，得到分段表达式：
\[ f^{(n)}(0) = \begin{cases} 0, & n\text{为偶数} \\ 2\,(n-1)!, & n\text{为奇数} \end{cases} \]
公式：\boxed{f^{(n)}(0)=\begin{cases} 0, & n\text{为偶数}\\ 2\,(n-1)!, & n\text{为奇数} \end{cases}}
提示：验证：n=1时，f'(0)=2，与2·0!=2一致；n=3时，f'''(0)=2·2!=4，可自行求导验证。
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