中国科学技术大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
4．设 $y=f(x)$ 是 $e^{x}+x y=e$ 在 $(0,1)$ 点附近确定的隐函数，求 $f^{\prime \prime}(0)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：验证点是否在曲线上并修正方程
原题方程为 $e^{x}+xy=e$，代入点 $(0,1)$ 得 $1+0=1\neq e$，矛盾。常见题型中隐函数常为 $e^{y}+xy=e$，代入 $(0,1)$ 得 $e^{1}+0=e$，成立。因此按修正方程 $e^{y}+xy=e$ 求解。
公式：e^{y}+xy=e
提示：注意检查点是否满足方程，若不满足需考虑题目是否印刷错误。
步骤 2/5
目标：对方程两边对x求导，得到一阶导数关系
方程 $e^{y}+xy=e$ 两边对 $x$ 求导，$y$ 是 $x$ 的函数：
\[\frac{d}{dx}(e^{y})+\frac{d}{dx}(xy)=0\]
即 $e^{y}\cdot y' + (1\cdot y + x\cdot y')=0$，整理得：
\[e^{y}y' + y + xy' = 0\]
公式：e^{y}y' + y + xy' = 0
提示：求导时注意 $e^{y}$ 的导数为 $e^{y}y'$，$xy$ 的导数为 $y+xy'$。
步骤 3/5
目标：代入点(0,1)求一阶导数
代入 $x=0, y=1$ 到 $e^{y}y' + y + xy' = 0$：
\[e^{1}\cdot y'(0) + 1 + 0 = 0\]
即 $e\cdot y'(0) + 1 = 0$，解得：
\[y'(0) = -\frac{1}{e}\]
公式：y'(0) = -\frac{1}{e}
提示：代入时注意 $x=0$ 使 $xy'$ 项消失。
步骤 4/5
目标：对一阶导数方程再求导，得到二阶导数关系
对 $e^{y}y' + y + xy' = 0$ 两边再对 $x$ 求导：
第一项 $e^{y}y'$ 的导数为 $e^{y}(y')^2 + e^{y}y''$；
第二项 $y$ 的导数为 $y'$；
第三项 $xy'$ 的导数为 $1\cdot y' + x\cdot y''$。
合并得：
\[e^{y}(y')^2 + e^{y}y'' + y' + y' + xy'' = 0\]
即：
\[e^{y}(y')^2 + e^{y}y'' + 2y' + xy'' = 0\]
公式：e^{y}(y')^2 + e^{y}y'' + 2y' + xy'' = 0
提示：注意 $e^{y}y'$ 的导数要用乘积法则，且 $y'$ 的导数出现 $y''$。
步骤 5/5
目标：代入已知值求二阶导数
代入 $x=0, y=1, y'(0)=-\frac{1}{e}$，先计算 $(y')^2 = \frac{1}{e^2}$。代入方程：
\[e^{1}\cdot \frac{1}{e^2} + e^{1}\cdot y''(0) + 2\left(-\frac{1}{e}\right) + 0 = 0\]
即 $\frac{1}{e} + e\,y''(0) - \frac{2}{e} = 0$，化简得 $e\,y''(0) - \frac{1}{e} = 0$，解得：
\[y''(0) = \frac{1}{e^2}\]
公式：f''(0) = \frac{1}{e^{2}}
提示：代入时注意 $x=0$ 使 $xy''$ 项消失，合并同类项要仔细。
步骤 6/6
目标：得出结论
所求二阶导数值为 $\frac{1}{e^{2}}$。
公式：f''(0) = \frac{1}{e^{2}}
提示：最终结果需化简，不可保留未约分形式。
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