中国科学技术大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
5．求 $\displaystyle z=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 被柱面 $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2 x y$ 所截下的面积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解柱面方程并化为极坐标形式
柱面方程为 $(x^2+y^2)^2 = 2xy$。令 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，则 $x^2+y^2 = r^2$，代入得 $r^4 = r^2 \sin 2\theta$。当 $r \neq 0$ 时，化简为 $r^2 = \sin 2\theta$。由于 $r^2 \ge 0$，要求 $\sin 2\theta \ge 0$，即 $\theta \in [0, \pi/2] \cup [\pi, 3\pi/2]$。曲线为双纽线形式。
公式：r^2 = \sin 2\theta
提示：注意 $r=0$ 时方程也成立，但积分时从 $0$ 开始即可；极坐标变换是处理此类对称曲线的常用方法。
步骤 2/8
目标：写出曲面面积公式并化简被积函数
曲面 $z = \frac{1}{2}(x^2+y^2)$，则 $f_x = x$, $f_y = y$。面积公式为 $S = \iint_D \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} \, dA = \iint_D \sqrt{1 + x^2 + y^2} \, dA$。在极坐标下，$\sqrt{1 + x^2 + y^2} = \sqrt{1 + r^2}$，面积微元 $dA = r \, dr \, d\theta$。
公式：S = \iint_D \sqrt{1+r^2} \, r \, dr \, d\theta
提示：曲面面积公式中 $\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}$ 是核心，不要遗漏根号。
步骤 3/8
目标：确定积分区域并利用对称性简化
区域 $D$ 由 $0 \le r \le \sqrt{\sin 2\theta}$ 且 $\theta$ 满足 $\sin 2\theta \ge 0$ 确定。由于图形关于原点对称，且两瓣面积相等，只需计算 $\theta \in [0, \pi/2]$ 部分再乘以 $2$。因此 $S = 2 \int_{\theta=0}^{\pi/2} \int_{r=0}^{\sqrt{\sin 2\theta}} \sqrt{1+r^2} \, r \, dr \, d\theta$。
公式：S = 2 \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\sqrt{\sin 2\theta}} r\sqrt{1+r^2} \, dr \, d\theta
提示：对称性可简化计算，注意 $\theta$ 范围对应 $\sin 2\theta \ge 0$ 的区间。
步骤 4/8
目标：计算对 $r$ 的积分
令 $u = 1+r^2$，则 $du = 2r \, dr$，$\int r\sqrt{1+r^2} \, dr = \frac{1}{2} \int \sqrt{u} \, du = \frac{1}{3} (1+r^2)^{3/2}$。代入上下限：$\int_{0}^{\sqrt{\sin 2\theta}} r\sqrt{1+r^2} \, dr = \frac{1}{3} \left[ (1+\sin 2\theta)^{3/2} - 1 \right]$。于是 $S = 2 \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{3} \left[ (1+\sin 2\theta)^{3/2} - 1 \right] d\theta = \frac{2}{3} \int_{0}^{\pi/2} (1+\sin 2\theta)^{3/2} d\theta - \frac{\pi}{3}$。
公式：\int r\sqrt{1+r^2} \, dr = \frac{1}{3}(1+r^2)^{3/2}
提示：换元积分时注意 $r$ 从 $0$ 到 $\sqrt{\sin 2\theta}$，结果要保留 $\theta$ 的函数。
步骤 5/8
目标：变量代换化简积分 $\int (1+\sin 2\theta)^{3/2} d\theta$
令 $t = \theta - \pi/4$，则 $\sin 2\theta = \sin(2t + \pi/2) = \cos 2t$。当 $\theta$ 从 $0$ 到 $\pi/2$ 时，$t$ 从 $-\pi/4$ 到 $\pi/4$。积分 $I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} (1+\cos 2t)^{3/2} dt$。利用恒等式 $1+\cos 2t = 2\cos^2 t$，得 $(1+\cos 2t)^{3/2} = 2^{3/2} |\cos t|^3$。在 $(-\pi/4, \pi/4)$ 上 $\cos t > 0$，故 $I = 2^{3/2} \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos^3 t \, dt$。被积函数为偶函数，$I = 2^{5/2} \int_{0}^{\pi/4} \cos^3 t \, dt$。
公式：1+\cos 2t = 2\cos^2 t, \quad I = 2^{5/2} \int_{0}^{\pi/4} \cos^3 t \, dt
提示：代换 $t = \theta - \pi/4$ 可简化三角函数，注意绝对值处理。
步骤 6/8
目标：计算 $\int_{0}^{\pi/4} \cos^3 t \, dt$
将 $\cos^3 t = \cos t (1-\sin^2 t)$ 拆分：$\int_{0}^{\pi/4} \cos^3 t \, dt = \int_{0}^{\pi/4} \cos t \, dt - \int_{0}^{\pi/4} \cos t \sin^2 t \, dt$。第一项 $\sin t \big|_0^{\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。第二项令 $u = \sin t$，$du = \cos t \, dt$，积分限 $0$ 到 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，得 $\int_{0}^{\sqrt{2}/2} u^2 \, du = \frac{1}{3} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^3 = \frac{\sqrt{2}}{12}$。所以原积分 $= \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{12} = \frac{5\sqrt{2}}{12}$。
公式：\int_{0}^{\pi/4} \cos^3 t \, dt = \frac{5\sqrt{2}}{12}
提示：利用 $\cos^3 t = \cos t (1-\sin^2 t)$ 可简化积分，注意换元时上下限的变化。
步骤 7/8
目标：代回计算 $I$ 和 $S$
由 $I = 2^{5/2} \cdot \frac{5\sqrt{2}}{12}$，且 $2^{5/2} = 4\sqrt{2}$，得 $I = 4\sqrt{2} \cdot \frac{5\sqrt{2}}{12} = 4 \cdot 2 \cdot \frac{5}{12} = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$。于是 $S = \frac{2}{3} \cdot \frac{10}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{20}{9} - \frac{\pi}{3}$。
公式：S = \frac{20}{9} - \frac{\pi}{3}
提示：计算时注意 $2^{5/2} \cdot \sqrt{2} = 2^{3} = 8$，避免算术错误。
步骤 8/8
目标：给出最终答案
所求曲面面积为 $\boxed{\frac{20}{9} - \frac{\pi}{3}}$。
公式：\frac{20}{9} - \frac{\pi}{3}
提示：最终答案需化简为最简形式，注意分数与 $\pi$ 的合并。
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